Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть четвертая. Электромагнетизм. Филимонова Л.В. - 16 стр.

а) Магнитная индукция элементарного поля в центре витка по закону Био-
Савара-Лапласа равна

                                              dB =
                                                              [ ]
                                                       μ0 I d l , r
                                                                    ,
                                                       4π r 3

т.е. вектор d B перпендикулярен плоскости рисунка и численно равен
                                      μ0 I ⋅ dl ⋅ r ⋅ sin 900 μ0 I
                           dB =                              =   ⋅ ⋅ dl .
                                      4π           r3          4π r 2
Учитывая, что все элементы тока на круговом витке одинаково расположены по
отношению к центру витка, получим
                                         μ0 I        μ I           μ I
                    B = ∫ dB =             ⋅ 2 ∫ dl = 0 ⋅ 2 ⋅ 2πr = 0 ⋅ .
                           L             4π r L      4π r           2 r

б) Магнитная индукция элементарного поля на оси витка по закону Био-Савара-
Лапласа равна
                                                       μ0 I [ d l , r ]
                                              d Bi =                    .
                                                       4π r 3

Отсюда ясно (по определению векторного произведения), что вектор d Bi пер-
пендикулярен плоскости, образованной векторами d l и r1 , т.е. для каждого

элемента тока вдоль витка d Bi имеет свое направление. Совокупность векторов
d Bi образует коническую поверхность, ось которой совпадает с осью витка
(рис. 6 б)). Векторная сумма всех d Bi с учетом симметрии будет направлена по

оси витка и численно равна сумме проекций отдельных d Bi на эту ось:
                            μ0 I              μ I           r μ       I ⋅r
    dB|| = dB ⋅ sin α =       ⋅ 2 ⋅ dl sin α = 0 ⋅ 2 ⋅ dl ⋅ = 0 ⋅             ⋅ dl .
                            4π r1             4π r1        r1 4π    2
                                                                            3
                                                                          2 2
                                                                  (r + b )
Учитывая, что все элементы тока на круговом витке равноценно расположены
по отношению к центру витка, получим
                    μ0              Ir                 μ0              Ir                   μ0                Ir 2
     B = ∫ dB|| =      ⋅                      ∫ dl =      ⋅                       ⋅ 2πr =        ⋅                       .
                    4π          2
                                          3
                                                       4π                     3
                                                                                            2                        3
         L                 (r       + b2 ) 2 L                (r   2
                                                                       + b2 ) 2                      (r   2
                                                                                                              + b2 ) 2
     Вычисления удобно проделать в системе Mathcad, результаты совпадают
с указанным выше ответом.

                                                        16