Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть третья. Электричество. Филимонова Л.В. - 23 стр.

                             dϕ = k
                                        σh ⋅ dl .
                                        x2 + R2
Т.к. в качестве элемента взят элемент длины dl, то интегрирование произво-
дим по длине кольца (2πR):
              2πR                                2πR
           ϕ = ∫ k σh ⋅ dl = k        σh
                                                  ∫ dl = 2πkσh
                                                                      R
                                                                              .
                    2     2        2         2                    2       2
                0    x +R         x +R            0               x +R
     Заметим, что так как в качестве исходной выбрана формула потенциала
                                            поля точечного заряда, где
                                            нулевая точка выбрана в
                                            бесконечности, то и полученный
                                            результат соответствует тому же
                                            положению нулевой точки. Т.к.
                                            имеющийся заряженный объект
                                            обладает конечными размерами,
                   рис. 7
                                            то в качестве нулевой точки по
праву выбрана бесконечно удаленная точка.
     Полученное выражение для потенциала одинаково верно для любой
точки на оси х (рис. 7). Поэтому возможно применение формулы (2.2) для на-
хождения проекции вектора напряженности на эту ось:
          dϕ          d     1                          1      2x
 Ex = −      = −2πkσhR (           ) = −2πkσhR ⋅ ( − 2    ⋅          )⇒
          dx          dx x 2 + R 2                  x + R2 2 x2 + R2
                                                  x
                         E x = 2πkσhR ⋅                   3
                                                              .
                                           ( x2 +      2 2
                                                      R )
      Учитывая симметрию, отметим, что сумма перпендикулярных оси х со-
ставляющих вектора напряженности поля равна нулю, тогда величина напря-
женности в любой точке на оси х равна
                                         x
                         E = 2πkσhR ⋅        3
                                               .
                                           ( x2 + R2 ) 2
Обратный путь.
      При суммировании полей элементов кольца перпендикулярные оси х со-
ставляющие векторов напряженностей элементарных полей будут компенси-



                                   23