Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть третья. Электричество. Филимонова Л.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

25
В заключение отметим, что интегрировать скалярную величину (потен-
циал) всегда проще, чем векторную (напряженность), а потому прямой путь
предпочтительнее.
Задача №2.3. Равномерно заряженный тонкий
круг радиуса R имеет заряд Q. Найдите
напряженность и потенциал на оси симметрии на
расстоянии х от плоскости круга.
Указания по решению. По данным задачи, прежде
всего, определим поверхностную плотность заряда, учитывая равномерность
его распределения по площади круга:
2
R
Q
π
σ
= .
В качестве элементарного заряда выберем заряд на тонком кольце (см. рис. 8)
радиуса r (r≤R):
dq=
σ
⋅2πr⋅dr.
Прямой путь.
Из предыдущей задачи известно, что потенциал поля элементарного кольца в
данной точке равен
2222
2
rx
drr
k
rx
dq
kd
+
⋅
=
+
=
π
σ
ϕ
⇒
)(2)(2
2
222
0
22
0
22
xRxkrxk
rx
drr
k
R
R
−+=+=
+
⋅
=
∫
σπσπ
πσ
ϕ
.
Здесь в качестве нулевой точки также взята бесконечно удаленная точка. Дей-
ствительно: 0)( =∞=
x
ϕ
.
Далее используя связь напряженности с потенциалом находим напря-
женность поля заряженного круга:
)1(
2
)1(2
22
2
22
xR
x
R
kQ
xR
x
k
dx
d
E
x
+
−=
+
−=−=
σπ
ϕ
.
Обратный путь. При нахождении напряженности поля с учетом принципа
суперпозиции требуется вычислять величину векторной суммы. Для каждого
элемента, т.е. тонкого кольца, по результатам предыдущей задачи имеем, что
рис. 8 
      В заключение отметим, что интегрировать скалярную величину (потен-
циал) всегда проще, чем векторную (напряженность), а потому прямой путь
предпочтительнее.

Задача №2.3. Равномерно заряженный тонкий
круг радиуса R имеет заряд Q. Найдите
напряженность и потенциал на оси симметрии на
расстоянии х от плоскости круга.
                                                             рис. 8
Указания по решению. По данным задачи, прежде
всего, определим поверхностную плотность заряда, учитывая равномерность
его распределения по площади круга:
                                     Q
                                      σ =.
                                    πR 2
В качестве элементарного заряда выберем заряд на тонком кольце (см. рис. 8)
радиуса r (r≤R):
                                   dq=σ⋅2πr⋅dr.
Прямой путь.
Из предыдущей задачи известно, что потенциал поля элементарного кольца в
данной точке равен

                         dϕ = k
                                      dq
                                                   =k
                                                        σ 2πr ⋅ dr ⇒
                                  x2 + r2                x2 + r2
             R                            R
        ϕ = ∫k σ 2πr ⋅ dr
                          = 2kσπ ( x + r ) = 2kσπ ( x 2 + R 2 − x 2 ) .
                                    2   2
             0     x2 + r2                          0

Здесь в качестве нулевой точки также взята бесконечно удаленная точка. Дей-
ствительно: ϕ ( x = ∞) = 0 .
     Далее используя связь напряженности с потенциалом находим напря-
женность поля заряженного круга:
                     dϕ                        x             2kQ             x
            Ex = −      = 2kσπ (1 −                     )=       (1 −                ).
                     dx                R +x2        2         R2         2
                                                                        R +x     2

Обратный путь. При нахождении напряженности поля с учетом принципа
суперпозиции требуется вычислять величину векторной суммы. Для каждого
элемента, т.е. тонкого кольца, по результатам предыдущей задачи имеем, что



                                           25

Страницы