Составители:
Рубрика:
26
напряженность его поля направлена по оси. Поэтому при сложении одинаково
направленных векторов величина суммы будет равна сумме величин напря-
женностей слагаемых полей:
2/322
)(
2
Rx
drrx
kdE
+
⋅
⋅
⋅
=
π
σ
⇒
).1(2)
11
(2
)
)(
1
2(
)(
2
)(
2
22222
0
2/122
2
0
2/322
0
2/322
0
xR
x
k
xRx
xk
rx
xk
rx
rdr
xk
rx
rdrx
kdEE
R
RRR
+
−=
+
−=
=
+
⋅−=
+
=
+
⋅⋅
==
∫∫∫
πσπσ
πσπσ
πσ
π
Подставив сюда выражение для плотности заряда, получим то же выражение,
что и ранее. Теперь остается определить потенциал:
).(2
)(2)1(2)()(
0
2
2
0
22
22
22
0
0
00
xRxxRxk
Rxxkdx
Rx
x
kdxExx
x
x
x
x
x
x
x
++−−+=
=+−−=
+
−−=−=−
∫∫
πσ
πσπσϕϕ
Полагая ∞=
0
x , получим
).(
2
)(2)(
22
2
22
xRx
R
kQ
xRxkx −+=−+=
πσϕ
Последняя формула также подтверждает полученный ранее результат.
Задача №2.4. Бесконечная тонкая нить равномерно заряжена с линейной
плотностью
τ
. Найдите напряженность и потенциал на расстоянии х от нити.
Указания по решению. Рассмотрим элемент длины dl, несущий заряд
dq=
τ
⋅dl.
Проекция вектора напряженности поля этого заряда в заданной точке
2/32222
)(
cos
lx
xdl
k
lx
dl
kdE
x
+
⋅
=⋅
+
=
τ
α
τ
.
Интегрируем по переменной l:
x
k
x
xk
lxx
l
xk
lx
dl
xkE
x
τ
τττ
21
2)(2
)(
2
2
0
222
0
2/322
=⋅=
+
=
+
=
∞
∞
∫
.
Теперь можно вычислить разность потенциалов между двумя точками х и х
0
рассматриваемого поля:
напряженность его поля направлена по оси. Поэтому при сложении одинаково
направленных векторов величина суммы будет равна сумме величин напря-
женностей слагаемых полей:
σ ⋅ x ⋅ 2πr ⋅ dr ⇒
dE = k 2
( x + R 2 )3 / 2
R
R
σ ⋅ x ⋅ 2πrdr = kπσx 2πR
R
E = ∫ dE = ∫ k 2
2rdr
= πσ − ⋅
1
)=
2 3/ 2 ∫ 2 2 3/ 2
k x ( 2 2 2 1/ 2
0 0 ( x + r ) 0 ( x + r ) ( x + r ) 0
1 1 x
= 2kπσx ( − ) = 2kπσ (1 − ).
2 2 2 2 2
x R +x R +x
Подставив сюда выражение для плотности заряда, получим то же выражение,
что и ранее. Теперь остается определить потенциал:
x x x
x
ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) = − ∫ E x dx = − ∫ 2kπσ (1 − )dx = −2kπσ ( x − x 2 + R 2 )=
2 2
x0 x0 x +R x0
= 2kπσ ( x 2 + R 2 − x − x02 + R 2 + x0 ).
Полагая x0 = ∞ , получим
2kQ
ϕ ( x ) = 2kπσ ( x 2 + R 2 − x ) =
2
( x 2 + R 2 − x ).
R
Последняя формула также подтверждает полученный ранее результат.
Задача №2.4. Бесконечная тонкая нить равномерно заряжена с линейной
плотностью τ. Найдите напряженность и потенциал на расстоянии х от нити.
Указания по решению. Рассмотрим элемент длины dl, несущий заряд
dq=τ⋅dl.
Проекция вектора напряженности поля этого заряда в заданной точке
τ dl τdl ⋅ x
dE x = k ⋅ cos α = k .
x2 + l 2 ( x 2 + l 2 )3 / 2
Интегрируем по переменной l:
∞
∞
dl l 1 2 kτ
E x = 2 kτ x ∫ 2 2 3/ 2
= 2 k τ x ( ) = 2 kτ x ⋅ = .
0 (x + l ) x2 x2 + l 2 0
x2 x
Теперь можно вычислить разность потенциалов между двумя точками х и х0
рассматриваемого поля:
26
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
