Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть третья. Электричество. Филимонова Л.В. - 24 стр.

ровать друг друга в силу симметрии. Поэтому для нахождения напряженности
суммарного поля достаточно сложить значения dEx:

          dE x = dE cos α = k 2
                                σh ⋅ dl ⋅ x
                                                =k 2
                                                      σhx ⋅ dl .
                                       2
                             ( x + R ) x2 + R2     ( x + R 2 )3 / 2
        Интегрируем по длине кольца:
             2πR       2πR                                                       2πR
        E = ∫ dE x = ∫ k
                                        σhx ⋅ dl        =k
                                                                  σhx                         σhx ⋅ 2πR .
                                        2      2 3/ 2         2         2 3/ 2       ∫ dl = k 2      2 3/ 2
              0         0           (x + R )                 (x + R )                0           (x + R )
Последнее выражение сравните с полученным ранее.
     Для нахождения потенциала воспользуемся соотношением
                                                      dϕ = − E x dx ,
тогда

                               x                 x                         x
                                                σ
        ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) = − ∫ E x dx = − ∫ k 2hx ⋅ 2πR
                                                              dx = − kσhπR ∫
                                                                                                        2 xdx
                                                                                                                    =
                                                       2 3/ 2                                         2      2 3/ 2
                               x0                x0     (x + R )                                 x0 ( x +  R  )
                                        x
                           1                                      1                      1
        = 2kσhπR (                           ) = 2kσhπR(                    −                    ).
                       2            2                         2         2                2   2
                      x +R              x0                   x +R                x0 + R
В случае x0 = ∞ получим:
                                                                        1
                                             ϕ ( x ) = 2kσhπR                    .
                                                                      x2 + R2
     Сравнение с ранее полученной формулой убеждает в правильности про-
деланных расчетов.
     Отметим, что полный заряд на кольце равен
                                               Q = S ⋅ σ = 2πR ⋅ h ⋅ σ ,
тогда формула для потенциала принимает простой вид
                                                             Q
                                             ϕ ( x) = k                 .
                                                           x2 + R2
Учитывая, что расстояние от заряда кольца до выбранной точки есть

                                                r=      x2 + R2 ,
получаем формулу по виду в точности совпадающую с формулой потенциала
точечного заряда. Аналогичный вывод имеет место и для напряженности.




                                                      24