Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть третья. Электричество. Филимонова Л.В. - 36 стр.

      Вектора E n и n направлены по оси z.
     Имеем для величины напряженности поля точечного заряда
                                         q
                                  E=k 2,
                                        r
кроме того, из геометрических соображений по рис.12
                             a/2 2
                     cos α =    , r = ( a / 2) 2 + x 2 + y 2 .
                              r
Подставляем:
                     q a/2              a/2 a/2
                                                           dx
       ΦE = 4 ⋅ ∫∫ k 2 ⋅   ⋅ dxdy = 2akq ∫ dy ∫                                               .
                S1 r     r               0    0 ( a / 2) 2 + x 2 + y 2[                  ]3


Подставляем числовые данные и вычисляем в системе Mathcad:
                                           1   1
                        9             −9                  dx
      ΦE = 2 ⋅ 2 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 24 ⋅ 10        ∫ dy ∫                         = 271,013 (Н⋅м2/Кл).
                                           0   0    [(1 + x 2 + y ]
                                                                2 3

Соответственно поток через всю поверхность куба в 6 раз больше.
2) Если заряд расположен в вершине куба, то поток вектора напряженности
через грани, которым принадлежит эта вершина, равен нулю (таких граней
три). А потоки через другие 3 грани равны между собой.
                                                    Для вычисления потока
                                              через одну такую грань
                                              необходимо снова ввести
                                              систему координат. Выберем
                                              систему     координат   сле-
                                              дующим образом: начало
                                              координат поместим в вер-
                                  рис. 13     шине, где находится заряд, а
                                              координатные оси направим
                                              вдоль ребер, сходящихся в
                                              этой вершине (рис. 13).
      Аналогично предыдущему имеем:
                            q a               a a
                                                              dx
                ΦE = ∫∫ k     ⋅  ⋅ dxdy = akq ∫ dy ∫                     .
                       S1   r2 r              0 0    ( a 2
                                                           + x 2
                                                                 + y 2 3
                                                                      )
Вычисляем:


                                               36