Составители:
Рубрика:
60
2
2
3
0
2
3
r
R
E
q
⋅=
ε
ρ
при
Rr >
2
.
Соответственно получаем выражения для плотности энергии:
0
2
1
2
2
0
2
1
2
0
1
18
9
2
ε
ρ
ε
ρ
ε
rr
w
qq
E
=⋅= внутри шара
и
4
20
6
2
4
2
2
0
6
2
0
2
189
2
r
R
r
R
w
qq
E
ε
ρ
ε
ρ
ε
=⋅= вне шара.
Самостоятельно получите аналогичным образом выражения для плотно-
сти энергии поля при наличии диэлектрической среды с проницаемостью
ε
.
Сравните полученные выражения и сделайте соответствующий вывод.
Задача №4.8. Электрическое поле создано равномерно заряженным с объем-
ной плотностью
q
ρ
шаром радиуса R. 1) Найдите энергию электрического по-
ля, заключенного во внутренней и внешней области пространства. Диэлектри-
ческая среда отсутствует. 2) Найдите суммарную энергию поля и сравните с
энергией взаимодействия распределенного по объему шара заряда.
Указания по решению. Воспользуемся формулой (4.9), учитывая результаты,
полученные в ходе решения предыдущей задачи. Энергию поля найдем сум
-
мированием энергии элементарных сферических слоев объемом d
r
r
2
4
π
.
1) Энергия поля внутри шара
5
2
0
0
5
0
2
0
4
0
2
0
2
0
2
2
V
11
45
2
59
2
9
2
4
18
R
r
drrdrr
r
dVwW
q
R
q
R
q
R
q
Ep
ρ
ε
π
ε
πρ
ε
πρ
π
ε
ρ
=⋅==⋅==
∫∫∫
или
5
2
0
1
45
2
RW
qp
ρ
ε
π
= .
2) Энергия поля вне шара
5
2
00
6
2
0
2
0
6
2
2
4
0
6
2
V
22
9
21
9
2
9
2
4
18
R
r
R
r
dr
R
drr
r
R
dVwW
q
R
q
R
q
R
q
Ep
ρ
ε
π
ε
πρ
ε
πρ
π
ε
ρ
=⋅==⋅==
∞
∞
∫∫∫
ρ q R3
E2 = ⋅ при r2 > R .
3ε 0 r2 2
Соответственно получаем выражения для плотности энергии:
2 2
ε 0 ρ q r1 ρ q 2 r12
wE 1 = ⋅ = внутри шара
2 9ε 0 2 18ε 0
и
ε0 ρ q2 R6 ρ q2 R6
wE 2 = ⋅ = вне шара.
2 9ε 02 r2 4 18ε 0 r2 4
Самостоятельно получите аналогичным образом выражения для плотно-
сти энергии поля при наличии диэлектрической среды с проницаемостью ε.
Сравните полученные выражения и сделайте соответствующий вывод.
Задача №4.8. Электрическое поле создано равномерно заряженным с объем-
ной плотностью ρ q шаром радиуса R. 1) Найдите энергию электрического по-
ля, заключенного во внутренней и внешней области пространства. Диэлектри-
ческая среда отсутствует. 2) Найдите суммарную энергию поля и сравните с
энергией взаимодействия распределенного по объему шара заряда.
Указания по решению. Воспользуемся формулой (4.9), учитывая результаты,
полученные в ходе решения предыдущей задачи. Энергию поля найдем сум-
мированием энергии элементарных сферических слоев объемом 4πr 2dr .
1) Энергия поля внутри шара
R ρ 2r 2 2πρ q 2 2πρ 2
q
R
q r5 2π
W p1 = ∫ wE1 dV = ∫ ⋅ 4πr 2dr = ∫ r 4
dr = ⋅ R
0 = ρ q 2 R5
V 0 18ε 0 9ε 0 0 9ε 0 5 45ε 0
или
2 π
W p1 = ρ q2 R5 .
45 ε 0
2) Энергия поля вне шара
2 6
∞ρ
q R 2πρ q 2 R 6 R dr 2πρ q 2 R 6 1 2π
Wp2 = ∫ wE 2 dV = ∫ ⋅ 4πr dr = 2
∫ 2 = 9ε ⋅ R
∞ = ρ q 2 R5
V R 18ε 0 r
4 9ε 0 0r 0 r 9 ε0
60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
