ВУЗ:
Составители:
, I}Y{D ;Xβ}YM{
n
2
σ==
где
Y={y
1
,y
2
,…,y
n
}
T
- вектор-столбец наблюдений; β={β
1
,β
2
,…,β
n
}
T
-
вектор-столбец неизвестных параметров;
M{Y}- математическое ожидание
вектор-столбца
Y, причем
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
}
n
M{y
. . .
}
2
M{y
}
1
M{y
M{Y}
,
M{Y}=(cov{y
i
, y
j
})=σ
2
I
n
- ковариационная матрица вектора наблюденийY;
I
n
- единичная матрица порядка n.
Определим погрешность измерений в виде вектора:
E={E
1
,E
2
,…,E
n
}
T
.
Тогда для
i-го наблюдения
E=y
i
-M{y
i
), , n1,i = Y
i
=x
i1
β
1
+x
i2
β
2
+…+x
ip
β
p
+E
i
M{E
i
}=0 cov{E
i
,E
j
}=cov{y
i
,y
j
} . n1,j i, =
В матричной форме это запишется в виде
Y=Xβ+E (6.3)
M{E}=0, D{E}=H(EE
T
)=σ
2
I
n
, (6.4)
где
D{E}- ковариационная матрица; 0 - нулевой вектор-столбец.
Формулой (6.3) с условиями (6.4) определена линейная модель с
некоррелированными наблюдениями.
Модель наблюдений (6.3) называется моделью полного ранга, если ранг
матрицы
X равен числу неизвестных параметров β
j
в уравнении (6.1)
(
rankX=p).
6.2.2. Оценивание параметров модели.
Неизвестные параметры
β
1
,β
2
,…,β
n
называются коэффициентами регрессии и подлежат оцениванию
по наблюдениям
y
1
,y
2
,…,y
n
.
Оценивание неизвестных коэффициентов осуществляется методом
наименьших квадратов, суть которого состоит в минимизации суммы
квадратов отклонений наблюдаемых величин
y
i
и теоретических оценок
.
n
1i
2
)
p
b
ip
x- . . . -
2
b
i2
x-
1
b
i1
x-
i
y(Q
∑
=
=
(6.5)
Значения
jj
ˆ
b β=
,
p1,j =
, минимизирующие функционал (6.5) при
наблюдаемых значениях
y
i
, i= n1, , называются оценками метода
наименьших квадратов (МНК - оценками) неизвестных параметров
β
i
[13].
Необходимые условия существования МНК-оценки
)
ˆ
,...,
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
p21
βββ=β
параметра
β=(β
1
,β
2
,…,β
p
) определяются при
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
