Обработка и передача сигналов в системах дистанционного управления. Финаев В.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

29
Для определения a
k
умножим правую и левую части уравнения
(1.1) на ψ
k
(t) и проинтегрируем обе части на отрезке ортогональности:
∫
∑
∫
ψψ=ψ
∞
=
2
1
2
1
t
t
ik
0k
k
t
t
i
dt)t()t(adt)t()t(s
.
При k=i правый интеграл равен единице, тогда
dt)t()t(Sa
2
1
t
t
kk
∫
ψ=
. (1.4)
Ортогональное разложение (1.1) называется обобщенным рядом Фурье, а
коэффициенты a
k
- обобщенными коэффициентами Фурье. Набор чисел {a
k
}
называется спектрами сигнала. Пример ортонормированных базисных
функций – базис тригонометрического ряда Фурье на отрезке [-π,π]
..1,2,3,....k ;kxsin
1
;kxcos
1
;
2
1
=
ππ
π
.
Аппроксимируем произвольную функцию x(t) линейной комбинацией n
ортогональных функций
∑
=
ψ=ψ++ψ+ψ≈
n
0k
kknn2211
)t(a)t(a...)t(a)t(a)t(x
.
Определим постоянные a
i
, при которых среднеквадратическая величина σ
функции x
l
(t)→min, где
∑
=
ψ−=
n
1i
iil
)t(a)t(x)t(x
или
∫
∑
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ψ−
+
=δ
=
2
1
t
t
2
n
0k
kk
12
dt)t(a)t(x
tt
1
. (1.5)
Из (1.5) следует, что σ есть функция от a
i
и для ее минимизации
необходимо принять
n1,i 0
a
i
==
∂
σ
∂
. Так как t
2
-t
1
≡const, из (1.5) получим
0dt)t(a)t(x
a
2
1
t
t
2
n
0k
kk
i
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ψ−
∂
∂
∫
∑
=
(1.6)
Если возвести в квадрат выражение в квадратных скобках под знаком
интеграла, то в силу ортогональности все слагаемые вида
∫
=ψψ
2
1
t
t
ji
0dt)t()t(
,
т.е. производная всех слагаемых, не содержащих a
i
, равна нулю, и тогда
∫
=
∂
∂
0dt)t(x
a
2
i
,
∫
=ψ
∂
∂
2
1
t
t
2
j
2
j
i
0dt)t(a
a
,
0dt)]t()t(a[
a
2
1
t
t
jii
i
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ψψ
∂
∂
∫
.
В формуле (1.6) останется два слагаемых

Страницы