ВУЗ:
Составители:
33
Выбор в качестве координат значений сигнала x(t
k
) при условии
совпадения значений аппроксимирующего полинома (2.3) с функцией x(t
k
) в
точках t
k
, называемых узлами интерполяции, приводит к интерполирующему
полиному Лагранжа
∑
∏
≠
=
≠
=
∗
−
−
=≈
n
ki
0k
n
ki
0i
ik
i
k
)tt(
)tt(
)t(x)t(x)t(x
.
2.4.1. Выбор шага дискретизации по временным характеристикам
сигнала. В.А. Котельниковым доказана теорема для функции с
ограниченным спектром, согласно которой функция полностью
определяется дискретным множеством своих значений (отсчетов), взятых с
частотой счета F
0
=2f
m
, где f
m
- максимальная частота в спектре S(jω) сигнала
x(t).
Сигнал x(t) может быть восстановлен без погрешностей по точным
значениям выборок x(t
k
) в виде
∑
∞=
−∞=
Δ−ω
Δ−ω
Δ=
k
k
m
m
)tkt(
)tkt(sin
)tk(x)t(x
. (2.4)
Интерполяционный ряд (2.4) называется рядом Котельникова.
Сигнал x(t) - непрерывная функция и имеет ограниченный спектр, т.е.
∫
∞
∞−
ω−
=ω dte)t(x)j(S
tj
,
удовлетворяющий условию S(jω)=0 при |ω|>ω
m
, т.е. в представлении сигнала
рядом Фурье
∫
ω
ω−
ω
ωω
π
=
m
m
de)j(S
j2
1
)t(x
tj
. (2.5)
Рассматривая S(jω) как функцию частоты, период которой равен
величине 2ω
m
, можно разложить эту функцию в ряд Фурье на интервале [-
ω
m
,ω
m
]:
∑
∞
−∞=
ωωπ
=ω
k
/kj
k
m
ec)j(S
, где
∫
ω
ω−
ωπω−
ωω
ω
=
m
m
m
de)j(S
2
1
c
/j
m
k
(2.6)
Сравнивая формулы (2.5) и (2.6), видим, что они совпадают с точностью
до постоянного множества Δt=π/ω
m
, если принять t=-kΔt, т.е.
)tk(xc
m
k
Δ−
ω
π
=
, тогда
∑
∞
−∞=
ωωπ
Δ−
ω
π
=ω
k
/kj
m
m
e)tk(x)j(S
.
Подставим это выражение в (2.5), изменив при этом знак с учетом того,
что суммирование производится по всем отрицательным и положительным
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
