ВУЗ:
Составители:
34
значениям k. Учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, изменим
порядок операций интегрирования и суммирования
∑
∫
∞
−∞=
ωωπ
ω
ω−
ω
=Δ−
ω
π
ω
π
=
k
/kj
m
tj
m
m
m
e)tk(xde
2
1
)t(x
∑
∫
∞
−∞=
ω
ω−
Δ−ω
ωΔ
ω
=
k
)tkt(j
m
m
m
de)tk(x
2
1
, (2.7)
причем
)tkt(
)tkt(sin2
de
m
)tkt(j
m
m
Δ−
Δ−ω
=ω
∫
ω
ω−
Δ−ω
. (2.8)
Подставив (2.8) в формулу (2.7), получим формулу (2.4).
Таким образом, непрерывная функция x(t) с ограниченным спектром
может быть точно представлена отсчетами x(kΔt), взятыми через равные
интервалы Δt=1/2F
m
=π/ω
m
.
Функцию
)tkt(
)tkt(sin
)t(
m
m
Δ−ω
Δ−ω
=ϕ
называют функцией отсчетов.
Теорема Котельникова сохраняет свой смысл применительно к
случайным процессам с ограниченным спектром. Если известна
автокорреляционная функция R
x
(τ), то шаг дискретизации выбирается
равным интервалу корреляции
∫
ω
ω−
ττ=τ
m
m
d)(R
)0(R
1
x
x
0
.
Реальные сигналы ограничены и спектр их бесконечен. Тогда ряд
Котельникова дает приближенное математическое описание сигнала с
неограниченным спектром.
Энергетический критерий имеет вид
∫
−=Δ
m
t
0
2*
dt)]t(x)t(x[E
,
где ΔЕ – энергия ошибки δ(t) (погрешность аппроксимации)
На практике вводят ограничение f
m
и рассматривают конечный спектр.
Функция может быть представлена числом отсчетов N=t
m
/Δt. Исходный
сигнал восстанавливается полиномом Котельникова с некоторой
погрешностью, т.е. полином следует рассматривать как аппроксимирующую
функцию x
*
(t):
∑
∞=
−∞=
−ω
−ω
=≈
k
k
km
km
k
*
)tt(
)tt(sin
)t(x)t(x)t(x
.
При крутом спаде спектра оценка относительной среднеквадратичной
погрешности определится
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
