ВУЗ:
Составители:
Для выполнения граничных условий Дирихле в строках, отвечаю-
щих элементам размерности
n−1
, покрывающим
∂
-границу рас-
четной области (
⊂ℝ
n
и
dim=n
), будут стоять нули и единицы
на главной диагонали матрицы . В случае условий Неймана мы встав-
ляем на плоском элементе экстраполяцию значения из внутренней ча-
сти расчетной области.
Для большей наглядности рассмотрим простейший случай ап-
проксимации задачи Пуассона с первым порядком точности, в которой
одна часть стенки имеет граничные условия Дирихле, а вторая Нейма-
на.
Пусть мы имеем часть элементов
T
i
1
D ,T
i
2
D , T
i
3
D , ... ,T
i
n
D
D
с граничным
условием Дирихле
ux =u
0
x
, часть
T
i
1
N , T
i
2
N , T
i
3
N , ... ,T
i
n
N
N
с гранич-
ным условием Неймана
∂u x
∂
n
=g x
, а так же
∪
k=1
n
N
T
i
k
N
∪
∪
k=1
n
D
T
i
k
D
=∂
.
На каждом внутреннем элементе получим с первым порядком
точности аппроксимацию уравнения Пуассона:
−
1
V
i
∫
T
i
u dV =
1
V
i
∫
∂ T
i
∂u
∂
n
dS =
1
V
i
∫
T
i
f xdV = f
i
. (3.1)
Используя аппроксимацию с первым порядком точности (3.1) по-
лучим выражение
1
V
i
∫
∂T
i
∂ u
∂ n
dS≈
1
V
i
∑
k=1
m
i
S
i
k u
i
k
−u
i
n
i
k⋅r
i
k
−r
i
. (3.2)
Здесь стоит отметить, что в случае, когда сетка состоит из равно-
сторонних тетраэдров или кубов, аппроксимация будет иметь второй
порядок точности и совпадет с обычной конечно-разностной схемой. В
случае, когда одна из граней с индексом
k
0
лежит на границе n-мер-
ной расчётной расчетной области мы можем считать, что
r
i
k
0
есть
центр масс элемента размерности
n−1
, совпадающего с гранью
k
0
,
и пользоваться той же формулой (3.2) при аппроксимации.
Строка матрицы, соответствующая центру масс элемента на гра-
нице с условием Дирихле, будет иметь вид:
0,... , 0, 1
столбец i
j
N
, 0,... , 0
, где
i
j
N
- это номер элемента на границе.
В той же строке в правой части мы будем иметь значение со стенки
b
i
j
N
=u
0
r
i
j
N
.
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
