Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям: задача по определению высоты места над уровнем
моря по давлению воздуха на этом месте, задача по определению формы отражателя; дифференциальное уравнение
первого порядка, решение дифференциального уравнения, интегральная кривая; задача Коши, теорема существования и
единственности решения задачи Коши; условие Липшица; полные решения, максимальный интервал; общее решение, общий
интеграл; частное решение, частный интеграл.
Исследование различных физических задач приводит к уравнениям, неизвестными в которых являются функции одной
переменной и которые содержат производные неизвестных функций. Такие уравнения называются
обыкновенными
дифференциальными, при этом порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в данное уравнение,
называется
порядком дифференциального уравнения.
При построении математических моделей физических явлений приходится рассматривать наряду с обыкновенными
дифференциальными уравнениями также уравнения, неизвестными в которых являются функции нескольких переменных и
которые содержат частные производные неизвестных функций. Такие уравнения
называются уравнениями с частными
производными
(или уравнениями математической физики).
Ниже рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения. В целях краткости будем называть их
дифференциальными уравнениями.
Выясним, например, зависимость между высотой
h
(м) места над уровнем моря и давлением
p (кг/м
2
) на этом месте.
Рассмотрим столб воздуха в виде прямой призмы, опирающейся на площадку в 1 м
2
на уровне моря (рис. 1.1).
Пусть
)(hpp = – функция, характеризующая зависимость p от h . Возьмём произвольное фиксированное 0>h .
Рассмотрим сечение
h
σ столба воздуха плоскостью, параллельной плоскости основания и отстоящей от неё на расстояние
h . Придадим h произвольное достаточно малое приращение h
∆
и рассмотрим сечение
hh ∆+
σ
столба воздуха плоскостью,
параллельной плоскости основания и отстоящей от неё на расстоянии
hh
∆
+
. Пусть
Ω
– слой столба воздуха, заключённый
между площадками
h
σ и
hh ∆+
σ .
Рис. 1.1
Увеличение высоты h на величину h∆ приводит к падению давления на величину )()( hhphp ∆+− . С другой стороны,
Qhhphp =∆
+
−
)()( , (1.1)
где Q – вес слоя воздуха Ω .
Пусть
)( p
µ
=
µ
– вес (в кг) 1 м
3
воздуха под давлением p . В силу малости величины h∆ будем считать, что давление
во всех точках слоя
Ω
постоянно и равно )(hp , т.е. равно давлению в точках нижнего основания слоя. Тогда
Ω
µ
=
VpQ )( ,
где
Ω
V – объём слоя
Ω
. Или
hpQ ∆
µ
= )(
, так как hhV
∆
=
∆
⋅
=
Ω
1 . Из физики известно, что )()( hkpp =
µ
, где k – некоторая
постоянная величина, определяемая в зависимости от средней температуры воздуха. Тогда
hhpkQ ∆= )( и соотношение
(1.1) принимает вид
hhpkhhphp ∆=
∆
+
−
)( )()( . (1.2)
Разделим обе части (1.2) на h
∆
− :
)(
)()(
hpk
h
hphhp
−=
∆
−∆+
.
Переходя к пределу при 0→∆h , имеем
)( )( hpkhp
−
=
′
.

Страницы