Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Решим уравнение (1.8). В силу равенства x
y
′
=
′
1
уравнение (1.8) можно записать в виде
2
1
++=
′
y
x
y
x
x
, (1.9)
в котором в качестве независимой переменной выступает
y
, в качестве неизвестной функции –
x
. Пусть
uy
x
=
, где
)(yuu =
– вспомогательная неизвестная функция. Тогда
uyux
+
′
=
′
и уравнение (1.9) принимает вид
2
1 uuuyu ++=+
′
или
2
1 uyu +=
′
. Далее,
y
dy
u
du
=
+
2
1
; C
y
dy
u
du
+=
+
∫∫
2
1
;
ln ln 1 ln
2
Cyuu −=++
;
C
y
uu =++
2
1 ;
C
y
y
x
y
x
=
++
2
1 ;
C
y
yxx
2
22
=++ .
Перенося в последнем соотношении
x
в правую часть и возводя обе части в квадрат, получаем
+=
2
2
2
C
xCy
. (1.10)
Итак, форма сечения L задаётся кривой вида (1.10), т.е. параболой с вершиной в точке
− 0 ;
2
C
B
и осью симметрии
Ox .
Для определения значения параметра
C воспользуемся тем, что заданы диаметр d и глубина h отражателя. По
условию,
()
2
d
xy
N
= , где
N
x – абсцисса точки N . Заметим, что
2
C
hBOhx
N
−=−= . Следовательно, должно выполняться
условие
22
dC
hy =
−
. (1.11)
Полагая в (1.10)
2
C
hx −=
,
2
d
y =
, получаем
h
d
C
8
2
= . Подставляя это значение C в (1.10), имеем
+=
h
d
x
h
d
y
164
22
2
. (1.12)
Итак, в силу симметричности отражателя относительно оси
Ox , форма отражателя представляет собой поверхность,
получаемую при вращении параболы (1.12) вокруг оси
Ox , т.е. параболоид вращения, уравнение которого имеет вид
+=+
h
d
x
h
d
zy
164
22
22
.
Рассмотренные примеры показывают, что дифференциальные уравнения являются мощным инструментом решения
различных практических задач. Поэтому будущему инженеру необходимо знать основы теории дифференциальных
уравнений и методы их решения.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
(
)
0,, =
′
yyxF , (1.13)
где
x
– независимая переменная, Ω
∈
x , Ρ⊆Ω (в качестве
Ω
рассматривается чаще всего одно из следующих множеств:
],[ ba
, ),( ba ,
],( ba
,
),[ ba
,
) ,[ ∞+a
,
) ,(
+a
, ], ( b
−
∞ ,
), ( b
−
∞
, ) , (
∞
+
−
∞ ); )(xyy = – неизвестная функция
независимой переменной
x
; )(xyy
′
=
′
– производная неизвестной функции;
(
)
•
•
•
, , F – некоторая заданная функция своих
аргументов.
Частным случаем уравнения (1.13) является уравнение вида
),( yxfy
=
′
, (1.14)
которое называется уравнением, разрешённым относительно производной.
Например, уравнения (1.3), (1.8) являются дифференциальными уравнениями первого порядка.

Страницы