Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется непрерывно дифференцируемая на множестве
Ω
функция
)(xy ϕ= , при подстановке которой в уравнение получается тождество относительно независимой переменной
Ω∈x .
Например, решением уравнения (1.3) является функция (1.6).
Замечание 1.1. В данном определении предполагается, что функция )(xy
ϕ
=
удовлетворяет следующему условию:
(
)
)()( ),( , FDxxx
∈
ϕ
′
ϕ ,
Ω
∈
∀
x ,
где )(FD – область определения функции
F
.
Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график решения этого уравнения.
Например, интегральными кривыми уравнения (1.8) являются параболы вида (1.10).
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка (1.14) – это, по определению, задача отыскивания
решения данного уравнения, удовлетворяющего условию
(
)
00
yxy
=
, где
0
x ,
0
y – некоторые заданные числа, т.е., задача
вида
()
=
=
′
(1.16) .
(1.15) );,(
00
yxy
yxfy
Условие (1.16) называется начальным условием, числа
0
x ,
0
y – начальными данными, при этом
0
y называется
начальным значением.
Например, задача (1.3), (1.4) является задачей Коши. Решить задачу Коши (1.15), (1.16) – это значит, что нужно найти
интегральную кривую уравнения (1.15), которая проходит через точку
(
)
000
, yxM .
Сформулируем достаточное условие существования и единственности решения задачи Коши (1.15), (1.16) [1.1, с. 28].
Теорема 1.1 (теорема Коши). Пусть правая часть уравнения (1.15) определена на множестве
{
2
00
(, ) : , Dxy xxayyb=∈−≤−≤R
(где a , b – некоторые положительные числа) и удовлетворяет следующим условиям:
1)
),( yxf непрерывна на D и, следовательно, в силу первой теоремы Вейерштрасса [2.1, с. 496] ограничена на D :
MyxfM
≤
>
∃
),( | 0 ,
Dyx ∈∀ ),(
; (1.17)
2) ),( yxf удовлетворяет на
D
следующему условию:
(
)
(
)
(
)( )
12 1 2 12
0| , , , , ,LxyxyDfxyfxyLyy∃> ∀ ∈⇒ − ≤ −
. (1.18)
Тогда задача Коши (1.15), (1.16) имеет единственное решение, которое заведомо определено при
[]
hxhxx
+
−
∈
00
, , где
{}
Mbah / ,min= .
Про функцию
),( yxf , удовлетворяющую условию (1.18), говорят, что она удовлетворяет на множестве D условию
Липшица по переменной
.y
Множество
()
()
00
,, 2, 2DDxy ab=
из теоремы 1.1 называется прямоугольником с центром в точке
(
)
000
, yxM и
сторонами
a2 , b2 .
Замечание 1.2. Отрезок
[]
hxhx +−
00
, существования и единственности решения задачи Коши из теоремы 1.1 будет
наибольшим, если в качестве константы
M
в условии (1.17) взять значение
),( max
),(
yxfM
Dyx ∈
=
.
Существование такого максимума следует из второй теоремы Вейерштрасса [2.3, с. 496].
Замечание 1.3. Для выполнения условия (1.18) теоремы 1.1 достаточно, чтобы функция ),( yxf имела на множестве D
ограниченную частную производную по аргументу
y :
KyxfDyxKyxf
yy
≤
′
⇒∈∀>∃
′
∃ ),( ),( | 0 ),,( .
Действительно, в этом случае для
()()
12
,, ,
x
yxyD∀∈
получаем в силу теоремы Лагранжа [2.3, с. 263]
()()
(
)
(
)
(
)
12 12112
,, ,
y
fxy fxy f xy y y y y
′
−=+λ−−
,
где
()
1 ;0∈λ . Тогда
()()
(
)
(
)
1 2 12112 12
,, ,
y
fxy fxy f xy y y y y Ky y
′
−=+λ−−≤−
.
Замечание 1.4. В силу первой теоремы Вейерштрасса, для ограниченности частной производной
),( yxf
y
′
на
прямоугольнике
D до-статочно её непрерывности на D .
Пусть правая часть
),( yxf уравнения (1.15) определена в некоторой области G, т.е. на некотором открытом связном
множестве
2
Ρ⊆G
.

Страницы