Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пусть выполняется следующее условие:
3) для каждой точки области G существует прямоугольник с центром в этой точке, расположенный в области G, на
котором выполняются условия теоремы 1.1.
Возьмём некоторую точку
(
)
GyxM ∈
000
, . Для неё существует прямоугольник
(
)
00000
, 2 , 2DDM a b G
=
⊂ , на котором
выполняются условия теоремы 1.1. В силу этой теоремы существует единственное решение
)(
0
xy ϕ= задачи Коши (1.15),
(1.16), определённое на некотором промежутке
[]
0000
, hxhx
+
−
. Рассмотрим точку
(
)
111
, yxM с координатами
001
hxx
+
=
,
)(
101
xy ϕ= . Для неё существует прямоугольник
(
)
11111
, 2 , 2DDM a b G
=
⊂ , на котором выполняются условия теоремы 1.1, в
силу которой существует единственное решение
)(
1
xy
ϕ
=
задачи Коши
),( yxfy
=
′
,
11
)( yxy = , (1.19)
определённое на некотором промежутке
[]
1111
, hxhx
+
− . Рассмотрим функцию вида
]
[]
+∈ϕ
−∈ϕ
=ψ=
. , ),(
; , ),(
)(
1111
1000
1
hxxxx
xhxxx
xy
Функция )(
1
xψ непрерывно дифференцируема на промежутке
[
]
1100
, hxhx
+
−
как объединение двух непрерывно
дифференцируемых функций (в точке "склейки"
1
x это свойство сохраняется, ибо в силу единственности решения задачи
Коши (1.19)
[]
| ,
11
xx δ−∃
[
]
)()( ,
1011
xxxxx
ϕ
=
ϕ⇒δ−∈∀ ). Решение )(
1
x
ψ
задачи Коши (1.15), (1.16) называется
продолжением её решения
)(
0
xy ϕ= вправо. Рассмотрим точку
(
)
222
, yxM с координатами
112
hxx += , )(
212
xy
ψ
=
.
Проводя те же рассуждения, приходим к следующему выводу: существует единственное решение
)(
2
xy ϕ= задачи Коши
),( yxfy =
′
,
22
)( yxy = , определённое на некотором промежутке
[
]
2222
, hxhx
+
−
. Тогда функция
]
[]
+∈ϕ
−∈ψ
=ψ=
, ),(
; , ),(
)(
2222
2001
2
hxxxx
xhxxx
xy
является продолжением решения )(
1
xy ψ
=
задачи Коши (1.15), (1.16) вправо.
Если область G ограничена справа, т.е.
{
}
+
∞
<
∈
=
GyxxG
x
),( | supsup ,
то, повторяя указанный процесс, мы продолжим исходное локальное решение )(
0
xy
ϕ
=
вправо до некоторой точки
G
ΓM ∈
*
, где
G
Γ – граница области G [1.5, с. 167].
Аналогично строится продолжение исходного локального решения
)(
0
xy
ϕ
=
влево. Если область G ограничена слева,
т.е.
{
}
−
∞>
∈
=
GyxxG
x
),( | infinf ,
то мы продолжим решение )(
0
xy ϕ= влево до некоторой точки
G
ΓM
∈
*
.
Если область G ограничена справа и слева, то в результате указанных продолжений мы получим единственное решение
)(xy ϕ= задачи Коши (1.15), (1.16), определённое на интервале ) ,(
β
α
, где
α
и
β
– абсциссы точек
*
M и
*
M
. Такое
решение уже не продолжимо ни вправо, ни влево. Его называют полным решением, а соответствующий интервал
) ,(
β
α
–
максимальным интервалом существования решения (рис. 1.3). Полное решение дифференциального уравнения называют
также непродолжимым решением этого уравнения.
Рис. 1.3

Страницы