Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, которое получается из общего решения
этого уравнения при конкретном значении параметра
PC
∈
.
Если частное решение дифференциального уравнения задано в неявном виде
0),(
=
Φ
yx ,
то его называют также частным интегралом этого уравнения.
Например, функция (1.6) является частным решением уравнения (1.3); функция (1.12) является частным интегралом
уравнения (1.8).
Решить дифференциальное уравнение – это значит найти его общее решение.
Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Простейшим примером дифференциального уравнения первого порядка является уравнение вида
)(xfy
=
′
. (1.21)
Если правая часть уравнения (1.21) непрерывна, то его общее решение задаётся формулой
∫
= dxxfy )( .
Например, общее решение уравнения xy 5cos=
′
имеет вид Cxy += 5sin
5
1
,
Ρ
∈
C .
Замечание 1.6. Если известно общее решение дифференциального уравнения первого порядка (оно содержит параметр
PC ∈ ), то для нахождения решения задачи Коши для такого уравнения достаточно найти значение параметра C, при
котором выполняется заданное начальное условие, и подставить это значение в общее решение
уравнения.
Лекция 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнения Бернулли.
Среди дифференциальных уравнений первого порядка можно выделить несколько типов уравнений, общие решения
которых выражаются через интегралы или, другими словами, выражаются в квадратурах. Примерами таких уравнений
являются уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнения Бернулли.
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид
0)()()()(
2211
=
+
dyygxfdxygxf , (2.1)
где )(
1
xf , )(
1
yg , )(
2
xf , )(
2
yg – некоторые заданные функции.
Разделим обе части уравнения (2.1) на такое выражение, чтобы после деления при
dx
не осталось выражений,
содержащих
y , а при dy – выражений, содержащих
x
. Для этого нужно разделить обе части (2.1) на )()(
21
xfyg :
0
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
=+ dy
yg
yg
dx
xf
xf
. (2.2)
Полученное уравнение (2.2) называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными.
Если функции
)(
1
xf , )(
2
xf , )(
1
yg , )(
2
yg непрерывны, то, интегрируя обе части (2.2), получаем
Сdy
yg
yg
dx
xf
xf
=+
∫∫
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
, (2.3)
где С – свободный параметр. Соотношение (2.3) является общим интегралом уравнения (2.1).
Проведённое деление обеих частей уравнения (2.1) на выражение
)()(
21
xfyg корректно при условии, что
0)()(
21
≠xfyg . Поэтому случай
0)(
1
=
yg (2.4)
надо исследовать отдельно.
Пусть
by =
2
– корень уравнения (2.4). Подставляя функцию by
≡
в уравнение (2.1), мы видим, что она является
решением этого уравнения, так как
0== dbdy . Итак, корни уравнения (2.4) тоже являются решениями уравнения (2.1).
Такие решения могут содержаться среди решений вида (2.3), а могут и нет.
Решим, например, уравнение
(
)
(
)
22
110x y dx y x dy
+−=: (2.5)
0
11
22
=
−
+
−
y
ydy
x
xdx
;

Страницы