Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

С
y
ydy
x
xdx
=
−
+
−
∫∫
11
22
;
ln
2
1
1 ln
2
1
1 ln
2
1
22
Cyx =−+− , 0
≠
C ,
(
)
(
)
22
11
x
yC
−
−=, 0≠C . (2.6)
Соотношение (2.6) есть общий интеграл уравнения (2.5). Корни уравнения
01
2
=−y ,
т.е. функции 1≡y , 1−≡y тоже являются решениями уравнения (2.5). Их можно получить из (2.6) при 0
=
C . Таким
образом, все решения уравнения (2.5) задаются формулой (2.6), в которой С – свободный параметр.
Решим уравнение вида
(1 ) (1 ) 0x ydx x y dy
+
+− =: (2.7)
0
11
=
−
+
+
dy
y
y
dx
x
x
;
Cdy
y
y
dx
x
x
=
−
+
+
∫∫
11
;
Cyyxx =−++ ln ln . (2.8)
Соотношение (2.8) является общим интегралом уравнения (2.7). Корни уравнения
0
=
y ,
т.е. функция 0≡y тоже является решением уравнения (2.7). Это решение нельзя получить из формулы (2.8). Такие решения
дифференциального уравнения, которые нельзя получить из общего интеграла этого уравнения, называются особыми
решениями. Итак,
0≡y – особое решение уравнения (2.7).
Уравнение вида
)()( ygxfy
=
′
, (2.9)
где )(xf , )( yg – некоторые заданные функции, тоже называется уравнением с разделяющимися переменными, так как его
можно записать в виде (2.1):
0)()(
=
−
dydxygxf .
Запишем уравнение (2.9) в виде
)()( ygxf
dx
dy
= . (2.10)
Умножим обе части (2.10) на выражение
)( yg
dx
:
dxxf
yg
dy
)(
)(
= . (2.11)
Если функции )(xf , )( yg непрерывны, то, интегрируя обе части (2.11), получаем
Cdxxf
yg
dy
+=
∫∫
)(
)(
, (2.12)
где С – свободный параметр. Соотношение (2.12) есть общий интеграл уравнения (2.9).
Корни уравнения
0)(
=
yg
тоже являются решениями уравнения (2.9).
Решим, например, уравнение
xyy cos
2
=
′
: (2.13)
xy
dx
dy
cos
2
= ;

Страницы