Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
22 222 2
(, ) () () (,)
M
tx ty tx ty tx ty t x y xy t M x y=++= ++= ;
(
)
22 2 2
(, ) ( ) (,)Ntxty tx t x tNxy=− = − = .
Мы видим, что ),( yxM , ),( yxN являются однородными функциями одинакового порядка однородности 2
=
α
.
Следовательно, (2.18) является однородным уравнением. Запишем (2.18) в виде (2.16):
2
22
x
xyyx
dx
dy ++
=
или
1
2
++
=
′
x
y
x
y
y . (2.19)
Пусть u
x
y
=
, тогда uxy = , uxuy +
′
=
′
и уравнение (2.19) принимает вид
1
2
++=+
′
uuuxu ;
x
u
u
1
2
+
=
′
.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
x
u
dx
du
1
2
+
=
;
x
dx
u
du
=
+
1
2
;
C
x
dx
u
du
+=
+
∫∫
1
2
;
Cxu += ln arctg ;
Cx
x
y
+= ln arctg . (2.20)
Семейство функций (2.20) есть общий интеграл уравнения (2.18).
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет вид
)()( xqyxpy =
+
′
, (2.21)
где )(xp , )(xq – некоторые заданные функции. Такое название объясняется тем, что y и y
′
входят в это уравнение
линейно, т.е. в первой степени. В более общей записи линейное уравнение имеет вид
)()()( xcyxbyxa =
+
′
, (2.22)
где )(xa , )(xb , )(xc – некоторые заданные функции, причём 0)(
≠
xa . Но уравнение вида (2.22) всегда можно свести к
уравнению вида (2.21), разделив обе его части на
)(xa
. Поэтому можно ограничиться изучением линейного уравнения (2.21).
Линейное уравнение можно решать двумя способами: методом вариации произвольной постоянной (методом
Лагранжа) или с помощью подстановки Бернулли.
Метод вариации произвольной постоянной заключается в следующем.
1. Находим общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, т.е. уравнения вида
0)( =
+
′
yxpy . (2.23)
Уравнение (2.23) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
yxp
dx
dy
)(−=
;
dxxp
y
dy
)(−= ;
dxxp
y
dy
)(
∫∫
−= ;
ln )( ln Cdxxpy +−=
∫
;

Страницы