Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

dxxp
eCy
)(
∫
=
−
. (2.24)
2. Ищем решение исходного линейного неоднородного уравнения (2.21) в том же виде, какой имеет общее решение
соответствующего линейного однородного уравнения, т.е. в виде (2.24), но только вместо свободного параметра С
записываем некоторую неизвестную пока функцию
)(xC :
dxxp
exCy
)(
)(
∫
=
−
. (2.25)
3. Находим )(xC , подставляя (2.25) в уравнение (2.21) (мы хотим, чтобы функция (2.25) была решением уравнения
(2.21), следовательно, она должна удовлетворять этому уравнению):
))(( )( )(
)( )(
xpexCexCy
dxxpdxxp
−
∫
+
∫
′
=
′
−−
;
)( )()( )()( )(
)( )( )(
xqexCxpexCxpexC
dxxpdxxpdxxp
=
∫
+
∫
−
∫
′
−−−
;
)( )(
)(
xqexC
dxxp
=
∫
′
−
;
dxxp
exqxC
)(
)( )(
∫
=
′
;
CdxexqxC
dxxp
+
∫
=
∫
)(
)( )( .
4. Подставляя найденную функцию )(xC в (2.25), получаем общее решение уравнения (2.21):
dxxpdxxp
eCdxexqy
)( )(
)(
∫
+
∫
=
−
∫
.
Решим уравнение (2.21) с помощью подстановки Бернулли. Будем искать его решение в виде произведения двух
вспомогательных неизвестных функций
)(xuu = , )(xvv
=
:
uvy
=
. (2.26)
Подставим (2.26) в уравнение (2.21):
vuvuy
′
+
′
=
′
;
)()( xquvxpvuvu
=
+
′
+
′
;
[
]
() ()upxuuvqx
′′
++=.
Выберем функцию
u
так, чтобы выражение в квадратных скобках обращалось в нуль:
() 0upxu
′
+
= . (2.27)
Тогда
)(xqvu
=
′
. (2.28)
Уравнение (2.27) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получаем:
dxxp
eCu
)(
∫
=
−
.
В качестве вспомогательной неизвестной функции u возьмём какое-либо частное решение, отличное от нуля,
например, частное решение, получаемое при
1=C :
dxxp
eu
)(
∫
=
−
. (2.29)
Подставляя (2.29) в уравнение (2.28), получаем
)(
)(
xqve
dxxp
=
′
∫
−
;
dxxp
exqv
)(
)(
∫
=
′
;
Cdxexqv
dxxp
+
∫
=
∫
)(
)( . (2.30)
Подставляя (2.29), (2.30) в (2.26), получаем общее решение уравнения (2.21):
dxxpdxxp
eCdxexqy
)( )(
)(
∫
+
∫
=
−
∫
.
Решим, например, линейное уравнение вида

Страницы