Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

xx
x
y
y 2
2
2
+=
+
−
′
обоими способами.
Метод вариации произвольной постоянной:
1.
0
2
=
+
−
′
x
y
y
;
2+
=
′
x
y
y
;
2+
=
x
y
dx
dy
;
2+
=
x
dx
y
dy
;
ln
2
C
x
dx
y
dy
+
+
=
∫∫
; ln 2 ln ln Cxy ++= ;
)2(
+
=
xCy .
2. )2)(( += xxCy .
3. )()2)(( xCxxCy ++
′
=
′
;
xx
x
xxC
xCxxC 2
2
)2)((
)()2)((
2
+=
+
+
−++
′
;
xxxxC 2)2)((
2
+=+
′
; xxC
=
′
)( , CxdxxC +=
∫
)( ;
C
x
xC +=
2
)(
2
.
4.
()
2
2
2
x
yCx

=+ +



.
Метод подстановки Бернулли:
uvy = , vuvuy
′
+
′
=
′
; xx
x
uv
vuvu 2
2
2
+=
+
−
′
+
′
;
xxvu
x
u
uv 2
2
2
+=
′
+
+
−
′
; 0
2
=
+
−
′
x
u
u
; xxvu 2
2
+=
′
;
2+
=
x
u
dx
du
,
2+
=
x
dx
u
du
; ln
2
C
x
dx
u
du
+
+
=
∫∫
;
ln 2 ln ln Cxu ++=
; )2(
+
=
xCu , 1
=
C , 2
+
=
xu ;
xxvx 2)2(
2
+=
′
+ , xv
=
′
, C
x
v +=
2
2
;
()
2
2
2
x
yx C

=+ +



.
Дифференциальное уравнение называется уравнением Бернулли, если оно имеет вид
α
=+
′
yxqyxpy )()( , (2.31)
где Ρ∈α , 0≠α , 1≠α (при 0
=
α
=
уравнение (2.31) является линейным, при 1
=
α
=
– уравнением с разделяющимися
переменными).
Уравнение Бернулли можно решать двумя способами: методом подстановки Бернулли
uvy = , т.е. тем же методом, что
и линейное уравнение, или методом сведения к линейному уравнению.
Покажем, как уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению. Умножим обе части уравнения (2.31) на
α−
y :
)()(
1
xqyxpyy =+
′
α−α−
. (2.32)
Введём вспомогательную неизвестную функцию )(xzz
=
, положив
α−
=
1
yz . Тогда yyz
′
α−=
′
α−
)1( , откуда
zyy
′
α−
=
′
α−
1
1
.
Уравнение (2.32) принимает вид
)( )(
1
1
xqzxpz =+
′
α−
или
)(
~
)(
~
xqzxpz =
+
′
, (2.33)
где )()1()(
~
xpxp α−= , )( )1()(
~
xqxq α−= . Уравнение (2.33) является линейным. Решая его, находим
z
, а затем находим y
по формуле
α−
=
1
1
zy
.
Решим, например, задачу Коши:

Страницы