Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Задача Коши для уравнения (3.2) – это, по определению, задача отыскания решения данного уравнения,
удовлетворяющего условиям
00
)( yxy = ,
00
)( yxy
′
=
′
,
00
)( yxy
′
′
=
′
′
, … ,
)1(
0
0
)1(
)(
−−
=
nn
yxy
, где , ,
00
yx
)1(
0
00
..., , ,
−
′′′
n
yyy
–
некоторые заданные числа, т.е. задача вида
(
)
=
′′
=
′′′
=
′
=
′′′
=
−
−
−
(3.4).)(, ... ,)( ,)( ,)(
(3.3) ; , ... ,,,,
)1(
0
0
)1(
000000
)1()(
n
n
nn
yxyyxyyxyyxy
yyyyxfy
Условия (3.4) называются начальными условиями; числа , ,
00
yx
)1(
0
00
, ... , ,
−
′′′
n
yyy – начальными данными, при этом
)1(
0
000
, ... , ,,
−
′′′
n
yyyy
называются начальными значениями.
Решить задачу Коши (3.3), (3.4) – это значит найти решение уравнения (3.3), график которого проходит через заданную
точку
()
000
, yxM и производные которого до порядка 1
−
n включительно принимают в данной точке
0
x заданные значения
)1(
0
00
, ... , ,
−
′′′
n
yyy
.
Укажем достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши [1.3, с. 153].
Теорема 3.1. (теорема Пикара). Пусть правая часть уравнения (3.3) определена на множестве
()
{
(1) 1
0
, , , , ... , ,
nn
Dxyyy y xx a
−+
′′′
=∈−≤
R
}
(1)
(1)
0 0 0
0
, , , ... ,
n
n
yy b y y b y y b y y b
−
−
′ ′ ′′ ′′
−≤ −≤ −≤ − ≤
и удовлетворяет следующим условиям:
1)
(
)
)1(
, ... ,,,,
−
′′′
n
yyyyxf непрерывна на D и, следовательно, в силу первой теоремы Вейерштрасса [2.3, с. 496],
ограничена на
D :
(
)
⇒∈
′′′
∀>∃
−
, ... ,,,, | 0
)1(
DyyyyxM
n
(
)
Myyyyxf
n
≤
′′′
−
, ... ,,,,
)1(
;
2)
(
)
)1(
, ... ,,,,
−
′′′
n
yyyyxf
имеет ограниченные частные производные первого порядка по всем аргументам, начиная со
второго:
)(
k
y
f
∂
∂
∃
, 10 −≤≤ nk ,
()
⇒∈
′′′
∀>∃
−
, ... ,,,, | 0
)1(
DyyyyxK
n
K
y
f
K
y
f
K
y
f
K
y
f
n
≤
∂
∂
≤
′′
∂
∂
≤
′
∂
∂
≤
∂
∂
⇒
−
, ... , , ,
)1(
.
Тогда задача Коши (3.3), (3.4) имеет единственное решение, которое заведомо определено при
[]
hxhxx
+
−∈
00
, , где
{}
(1)
min ,
max , , ... ,
n
D
b
ha
My y
−


=

′


.
Множество D из теоремы 3.1 называется )1(
+
n -мерным параллелепипедом с центром в точке
(
)
)1(
0
00000
, ... ,,,,
−
′′′
n
yyyyxM .
Пусть правая часть уравнения (3.3) определена в некоторой области G, т.е. на некотором открытом связном множестве
1+
⊆
n
G Ρ
. Пусть выполняется следующее условие: для каждой точки области G существует
)1( +n -мерный параллелепипед
с центром в этой точке, расположенный в области G, на котором выполняются условия теоремы 3.1. Тогда, как и в случае
дифференциального уравнения первого порядка (см. лекцию 1), каждое локальное решение дифференциального уравнения
(3.3), существование и единственность которого гарантирует теорема 3.1, можно продолжить до полного решения.
Зафиксируем некоторое
Ρ
∈
0
x , такое что множество
()
{}
(1)
00
,, , , ... , |
n
Gxyyy y Gxx
−
′′′
=∈=
не пусто. В качестве начальных значений возьмём любые ,,
00
yy
′
)1(
0
0
, ... ,
−
′′
n
yy , такие что
()
(1)
0000 0
0
,,,, ... ,
n
x
yyy y G
−
′′′
∈
.
Тогда задача Коши (3.3), (3.4) имеет единственное решение
(
)
(1)
000
0
,,,,...,
n
y xyyy y
−
′′′
=ϕ
(для каждого набора начальных
значений
,,
00
yy
′
)1(
0
0
, ... ,
−
′′
n
yy решение своё). Беря различные значения для ,,
00
yy
′
)1(
0
0
, ... ,
−
′′
n
yy , получаем бесконечное
множество решений дифференциального уравнения (3.3). В связи с этим введём следующее определение.
Общим решением дифференциального уравнения (3.3) называется n-параметрическое семейство функций
()
12
,, , ... ,
n
yxCC C=ϕ (где
12
, , ... ,
n
CC C – параметры;
(
)
12
,, ... ,
nn
CC C P
∈
,
n
n
P Ρ⊆ ), удовлетворяющее следующим
условиям:

Страницы