Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
02 1
2
=
′
−
′′
+ yxyx
.
Имеем:
zy
=
′
, yz
′
′′
=
;
(
)
02 1
2
=−
′
+ xzzx ;
2
1
2
x
xz
z
+
=
′
;
2
1
2
x
xz
dx
dz
+
=
;
2
1
2
x
xdx
z
dz
+
=
;
1
2
1
2
C
x
xdx
z
dz
+
+
=
∫∫
; ln 1 ln ln
1
2
Cxz ++= ;
(
)
2
1
1 xCz +=
;
(
)
2
1
1 xCy +=
′
;
()
2
3
1
2
1
3
1 C
x
xCdxxCy +
+=+=
∫
.
Если уравнение вида (3.5) содержит производные неизвестной функции, начиная с k-й производной:
(
)
() ( 1) ()
, , , ... , 0
kk n
Fxy y y
+
= , (3.6)
то делают замену
zy
k
=
)(
, после которой уравнение (3.6) принимает вид
(
)
()
,, , ... , 0
nk
Fxzz z
−
′
.
Рассмотрим второй случай понижения порядка. Пусть уравнение (3.1) не содержит в явном виде независимую
переменную
x
:
(
)
()
, , , ... , 0
n
Fyyy y
′′′
= (3.7)
(неизвестная переменная
x
"присутствует" в уравнении (3.7), так как является аргументом неизвестной функции у и её
производных
)(
, ... ,,
n
yyy
′′′
).
Примем
y за независимую переменную и введём вспомогательную неизвестную функцию )( ypp = , положив py
=
′
.
Тогда
() ( )
()
yx
x
yy py pypp
′′
′′ ′ ′ ′ ′
== = =;
() ( ) ( ) ( )
()() () () () ()
xx x
y y pypy py py py py
′′′ ′
′′′ ′′ ′ ′ ′
== = + =
()
2
2
yx
pyp ppp pp p p
′′ ′ ′ ′ ′′ ′
=+=+ .
Продолжая этот процесс, мы получим, что
(
)
() ( 1)
,, , ... ,
nn
ypppp
−
′′′
=ψ
и уравнение (3.7) принимает вид
()
(
)
(
)
2
2(1)
, , , , ... , , , , ... , 0
n
Fyppppp p p ppp p
−
′′′ ′ ′′′
+ψ
= .
Получили уравнение (1)n − -го порядка.
Решим, например, задачу Коши
()
−=
′
=
=
′′
+
′
(3.9) .3)0( ,0)0(
(3.8) ; 0 2
3
yy
yyy
Получаем:
py =
′
, ypp
′
′′
=
, 02
3
=
′
+ ppyp ;
а) 0=p , 0=
′
y , Cy = ,
Ρ
∈C ,
но любое решение из этого семейства решений не является решением задачи Коши (3.8), (3.9), ибо
0)(
=
′
=
′
Cy
, в частности,
30)0( −≠=
′
y ;
б)
0≠p , 02
2
=
′
+ pyp ,
2
2ypp −=
′
,
2
2yp
dy
dp
−= , ydy
p
dp
2
2
−= ;

Страницы