Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)()()( ... )()(
1
)2(
2
)1(
1
)(
xfyxayxayxayxay
nn
nnn
=+
′
++++
−
−−
, (4.3)
где
] ,[ )( baCxa
i
∈
, ni ≤≤1 , (4.4)
] ,[ )( baCxf ∈ (здесь ] ,[ baC – линейное пространство непрерывных на
] ,[ ba
функций с обычными операциями сложения
функций и умножения функции на число [2.8, с. 11] ).
Под задачей Коши для ЛНДУ (4.3) понимается задача отыскания такого решения этого уравнения, которое
удовлетворяет заданным начальным условиям
00
)( yxy
=
,
00
)( yxy
′
=
′
,
00
)( yxy
′′
=
′
′
, …,
)1(
0
0
)1(
)(
−−
=
nn
yxy . (4.5)
Приведём формулировку теоремы существования и единственности решения задачи Коши для ЛНДУ n-го порядка
[1.4, с.73].
Теорема 4.1 (теорема Пикара). Если коэффициенты )(xa
i
, ni
≤
≤
1 , и правая часть )(xf уравнения (4.3) непрерывны
на промежутке
] ,[ ba
, то задача Коши (4.3), (4.5) имеет единственное решение, определённое на всём промежутке
] ,[ ba
.
Следствие 4.1. Если коэффициенты )(xa
i
, ni
≤
≤1 , уравнения (4.1) непрерывны на промежутке
] ,[ ba
, то задача Коши
(4.1), (4.5) имеет единственное решение, определённое на всём промежутке
] ,[ ba
.
Так как мы рассматриваем уравнение (4.1) в предположении, что выполняется условие (4.4), то в силу следствия 4.1 это
уравнение имеет нетривиальные решения.
Пусть
] ,[ baC
n
– множество n раз непрерывно дифференцируемых на промежутке
[
]
ba, функций. Множество ] ,[ baC
n
является линейным пространством [2.8, с. 11].
Рассмотрим отображение
] ,[ ] ,[ : baCbaCL
n
→ , определяемое для любой функции ] ,[ baCu
n
∈ формулой
uxauxauxauxauLu
nn
nnn
)()( ... )()(
1
)2(
2
)1(
1
)(
+
′
++++=
−
−−
, (4.6)
где )( ),( , ... ),( ),(
121
xaxaxaxa
nn−
– коэффициенты уравнения (4.1).
Дифференциальным оператором, порождённым уравнением (4.1), называется отображение
] ,[ ] ,[ : baCbaCL
n
→ ,
задаваемое формулой (4.6).
В силу того, что производная суммы равна сумме производных и постоянную можно выносить за знак производной,
получаем следующие свойства дифференциального оператора:
1) свойство аддитивности: для любых
] ,[ ,
21
baCuu
n
∈
(
)
2121
LuLuuuL +
=
+
; (4.7)
2) свойство однородности: для любого ] ,[ baCu
n
∈ и для любого
Ρ
∈
α
LuuL ) ( α
=
α
. (4.8)
Отображение, обладающее свойствами аддитивности и однородности, называется линейным. Таким образом,
дифференциальный оператор является линейным.
Из (4.7), (4.8) следует, что для любых
] ,[ , ... , ,
21
baCuuu
n
s
∈ и любых
Ρ
∈
α
α
α
s
, ... , ,
21
(
)
ssss
LuLuLuuuuL
α
+
+α+
α
=
α
+
+
α
+
α
... ...
22112211
, (4.9)
или в более краткой записи
∑∑
==
α=
α
s
i
ii
s
i
ii
LuuL
11
. (4.10)
Используя дифференциальный оператор L, уравнение (4.1) можно записать в виде
0
=
Ly
. (4.11)
Пусть
0
Ω – множество решений уравнения (4.11). Из (4.7) – (4.9) получаем следующие свойства решений ЛОДУ n-го
порядка.
1. Если
021
, Ω∈yy , то
021
Ω
∈
+ yy .
Действительно, так как
021
, Ω
∈
yy , то 0
1
=Ly , 0
2
=
Ly . Тогда
(
)
000
2121
=+
=
+
=
+
LyLyyyL , т.е.
021
Ω
∈
+ yy .
2. Если
0
Ω∈y , Ρ∈α , то
0
Ω
∈
αy .
3. Если
021
, ... , , Ω∈
s
yyy ; Ρ∈α
α
α
s
, ... , ,
21
, то
02211
...
Ω
∈
α
+
+
α
+
α
ss
yyy .
Свойства 1 – 3 показывают, что множество решений ЛОДУ n-го порядка является линейным пространством.
В силу свойства 3, если имеется n решений
n
yyy , ... , ,
21
уравнения (4.11), то семейство функций вида
nn
yCyCyCy ++
+
=
...
2211
, (4.12)

Страницы