Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)(...)()(
...................................................
)(...)()(
)(...)()(
)W(
)1(
)1(
2
)1(
1
21
21
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxy
x
n
n
nn
n
n
−
−−
′′′
=
отличен от нуля при любом ] ,[ bax ∈ .
: пусть 0)W(
0
=x при некотором ] ,[
0
bax ∈ . Составим систему n однородных линейных уравнений относительно
неизвестных
n
ααα , ... , ,
21
, определитель которой равен )W(
0
x :
=α++α+α
=α
′
++α
′
+α
′
=α++α+α
−
−−
. 0)( ... )()(
...................................................................
; 0)( ... )()(
; 0)( ... )()(
0
)1(
20
)1(
2
10
)1(
1
0202101
0202101
n
n
n
nn
nn
nn
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxy
(4.14)
Так как 0)W(
0
==∆ x , то эта система имеет ненулевое решение
(
)
**
2
*
1
, ... , ,
n
ααα [2.2, с. 66]. Рассмотрим линейную
комбинацию решений у
1
, у
2
, … , у
n
вида
nn
yyyy
*
2
*
21
*
1
... α++α+α=
. (4.15)
В силу свойства 3 решений ЛОДУ n-го порядка функция (4.15) является решением уравнения (4.11). В силу (4.14) эта
функция удовлетворяет нулевым начальным условиям
0)(
0
=
xy , 0)(
0
=
′
xy , 0)(
0
=
′
′
xy , … , 0)(
0
)1(
=
−
xy
n
. Следовательно,
функция (4.15) является решением задачи Коши
==
′′
=
′
=
=
−
(4.17) .0)( , ... ,0)( ,0)( ,0)(
(4.16) ; 0
0
)1(
000
xyxyxyxy
Ly
n
С другой стороны нулевая функция тоже является решением задачи Коши (4.16), (4.17). В силу единственности
решения задачи Коши (см. следствие 4.1) функция (4.15) является нулевой:
0 ...
*
2
*
21
*
1
=α++α+α
nn
yyy ,
∀
] ,[ bax
∈
.
Получили нетривиальную линейную комбинацию решений
, ,
21
yy …,
n
y , равную нулю при
] ,[ bax ∈
. Следовательно,
n
yyy , ... , ,
21
линейно зависимы на
] ,[ ba
, что противоречит условию теоремы. .
Следствие 4.2. Если вронскиан
)W(x
решений
n
yyy , ... , ,
21
уравнения (4.11) в некоторой точке
] ,[
*
bax ∈
равен нулю,
то эти решения линейно зависимы на промежутке
] ,[ ba
.
Действительно,
: решения
n
yyy , ... , ,
21
линейно независимы на
] ,[ ba
. Тогда в силу теоремы 4.2
0)W(
≠
x
,
∀
] ,[ bax ∈
. В частности, 0)W(
*
≠x . Противоречие. .
Докажем теорему о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка.
Теорема 4.3. Если
n
yyy , ... , ,
21
линейно независимые решения уравнения (4.11), то общее решение этого уравнения
задаётся формулой (4.12), в которой
12
, , ...,
n
CC C
– свободные параметры.
Тот факт, что при любых конкретных значениях параметров
12
, , ...,
n
CC C функция вида (4.12) является решением
уравнения (4.11) справедлив в силу свойства 3 решений ЛОДУ n-го порядка. Осталось показать, что любое решение
уравнения (4.11) можно представить в виде (4.12). Пусть
y
~
– произвольное фиксированное решение уравнения (4.11).
Возьмём некоторое
] ,[
0
bax ∈ . Вычислим значения функции y
~
и её производных до порядка 1−n включительно в точке
0
x .
Пусть
00
~
)(
~
yxy = ,
00
~
)(
~
yxy
′
=
′
,
00
~
)(
~
yxy
′′
=
′′
, …,
)1(
0
0
)1(
~
)(
~
−
−
=
n
n
yxy . Тогда
y
~
является решением задачи Коши
=
′′
=
′′′
=
′
=
=
−
−
(4.19) .
~
)( , ... ,
~
)( ,
~
)( ,
~
)(
(4.18) ; 0
)1(
0
0
)1(
000000
n
n
yxyyxyyxyyxy
Ly
Составим систему n линейных уравнений относительно неизвестных
n
α
α
α
, ... , ,
21
вида
=α++α+α
′
=α
′
++α
′
+α
′
=α++α+α
−
−
−−
.
~
)( ... )()(
.....................................................................
;
~
)( ... )()(
;
~
)( ... )()(
)1(
0
0
)1(
20
)1(
2
10
)1(
1
00202101
00202101
n
n
n
n
nn
nn
nn
yxyxyxy
yxyxyxy
yxyxyxy
(4.20)
Определитель этой системы уравнений равен
)W(
0
x . В силу теоремы 4.2 0)W(
0
≠
x . Следовательно, система (4.20)
имеет решение
(
)
**
2
*
1
, ... , ,
n
ααα
[2.2, с. 69].
Рассмотрим функцию вида (4.12) с
*
11
α=C ,
*
22
α=C , …,
*
nn
C α= , т.е. функцию
nn
yyyy
*
2
*
21
*
1
*
... α++α+α=
. (4.21)

Страницы