Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

содержащее n свободных параметров
12
, , ...,
n
CC C, задаёт некоторое множество W решений уравнения (4.11), т.е.
0
W
Ω
⊂ .
Выясним, при каких условиях на решения
n
yyy , ... , ,
21
семейство функций (4.12) является общим решением уравнения
(4.11), т.е.
0
W Ω= .
По определению общего решения уравнения, формула (4.12) будет задавать общее решение уравнения (4.11), если, во-
первых, для любых конкретных значений
12
, , ...,
n
CC C функция вида (4.12) является решением уравнения (4.11) (это
условие, как только что установлено, выполняется), и, во-вторых, любое решение уравнения (4.11) можно получить по
формуле (4.12) путём соответствующего подбора значений
12
, , ...,
n
CC C.
Итак, осталось выяснить, при каких условиях на решения
n
yyy , ... , ,
21
любое решение уравнения (4.11) можно
получить из формулы (4.12) или, другими словами, представить в виде (4.12). Для этого потребуются некоторые
дополнительные сведения.
Пусть на промежутке
] ,[ ba заданы функции )(, ... ),( ),(
21
xxx
s
ϕ
ϕ
ϕ
.
Линейной комбинацией функций
)(, ... ),( ),(
21
xxx
s
ϕ
ϕ
ϕ
называется выражение вида
)( ... )()(
2211
xxx
ss
ϕ
α
+
+
ϕ
α
+
ϕ
α ,
где
s
ααα , ... , ,
21
– некоторые постоянные, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то её называют тривиальной, в противном случае, т.е., если
хотя бы один коэффициент линейной комбинации отличен от нуля, её называют нетривиальной.
Система функций
)(, ... ),( ),(
21
xxx
s
ϕ
ϕ
ϕ
называется линейно независимой на промежутке ] ,[ ba , если их линейная
комбинация равна нулю на промежутке
] ,[ ba только тогда, когда она тривиальна. В противном случае система функций
)(, ... ),( ),(
21
xxx
s
ϕ
ϕ
ϕ
называется линейно зависимой на промежутке ] ,[ ba .
Таким образом, система функций называется линейно зависимой на промежутке
] ,[ ba , если существует хотя бы одна
нетривиальная линейная комбинация этих функций, равная нулю на промежутке
] ,[ ba
.
Например, система функций
xx sin)(
1
=
ϕ
, xx cos)(
2
=
ϕ
, линейно независима на промежутке ] , [ ππ− .
Действительно, пусть
0cossin
21
=
α
+
α
xx ,
∀
] , [ ππ−∈x . (4.13)
Покажем, что 0
1
=α , 0
2
=α . Запишем (4.13) при
2
π
=x
:
0 0
2
cos
2
sin
121
=α⇒=
π
α+
π
α .
Запишем (4.13) при 0=x :
0 00cos0sin
221
=
α
⇒
=
α
+
α .
Система функций xx arcsin)(
1
=
ϕ
, xx arcsin2)(
2
=
ϕ
линейно зависима на промежутке ]1 ,1 [ − , так как, например,
0)arcsin2 (2arcsin4
=
+
− xx ,
∀
]1 ,1 [
−
∈
x
.
Этот пример показывает, что если система функций ),(
1
x
ϕ
),(
2
x
ϕ
)(, ... x
s
ϕ
, заданных на промежутке ] ,[ ba , содержит
хотя бы две функции, отличающихся между собой лишь числовым множителем, например,
)( )(
12
xx
ϕ
µ
=
ϕ
, то эта система
функций линейно зависима на
] ,[ ba . Действительно, тогда
0)(0...)(0)()1()(
321
=
ϕ
⋅
+
+
ϕ
⋅
+
ϕ
⋅−+
ϕ
µ
xxxx
s
,
∀
] ,[ bax
.
Если система функций, заданных на промежутке ] ,[ ba , содержит нулевую функцию, то она линейно зависима на ] ,[ ba ,
ибо нетривиальная линейная комбинация этих функций, все коэффициенты которой равны нулю, кроме коэффициента при
нулевой функции, равна нулю на
] ,[ ba .
Пусть на промежутке
] ,[ ba заданы 1−n раз дифференцируемые функции )(, ... ),( ),(
21
xxx
n
ϕ
ϕ
ϕ
.
Определителем Вронского (или вронскианом) системы функций
{}
1
()
n
i
i
x
=
ϕ
называется функциональный определитель
вида
)(...)()(
...................................................
)(...)()(
)(...)()(
)W(
)1()1(
2
)1(
1
21
21
xxx
xxx
xxx
x
n
n
nn
n
n
−−−
ϕϕϕ
ϕ
′
ϕ
′
ϕ
′
ϕϕϕ
=
.
В дальнейшем нам понадобится необходимое условие линейной независимости n решений ЛОДУ n-го порядка.
Теорема 4.2. Если
n
yyy , ... , ,
21
линейно независимые решения уравнения (4.11) на промежутке ] ,[ ba , то их вронскиан

Страницы