Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1
2
2 Cydy
p
dp
+−=
∫∫
;
1
2
1
Cy
p
+−=−
,
1
2
1
Cy
p
−=
,
1
2
1
Cy
p
−
=
,
1
2
1
Cy
y
−
=
′
.
Подберём значение параметра
1
C так, чтобы выполнялись начальные условия (3.9):
()
1
2
)(
1
)(
Cxy
xy
−
=
′
,
()
1
2
)0(
1
)0(
Cy
y
−
=
′
;
3
0
1
1
2
−=
−C
,
3
1
1
=C .
Тогда
3
1
1
2
−
=
′
y
y
;
3
1
1
2
−
=
y
dx
dy
;
dxdyy =
−
3
1
2
,
2
2
3
1
Cdxdyy +=
−
∫∫
;
2
3
3
1
3
1
Cxyy +=− ;
(
)
2
3
3 Cxyy +=− .
Подберём значение параметра
2
C так, чтобы выполнялось начальное условие 0)0(
=
y :
()
(
)
2
3
0 3)0()0( Cyy +=− ,
(
)
000 3
3
2
−=+C
, 0
2
=
C .
Тогда
xyy 3
3
=− . (3.10)
Выражение (3.10) есть решение задачи Коши (3.8), (3.9), записанное в неявном виде.
Лекция 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
n-го ПОРЯДКА
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка (ЛОДУ n-го порядка); дифференциальный оператор,
его свойства; свойства решений ЛОДУ n-го порядка; линейно независимые и линейно зависимые системы функций;
определитель Вронского; необходимое условие линейной независимости n решений ЛОДУ n-го порядка; теорема о
структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка; необходимое условие линейной зависимости и решений ЛОДУ n-го порядка;
способ проверки системы n решений ЛОДУ n-го порядка на линейную независимость; теорема о существовании
фундаментальной системы решений ЛОДУ n-го порядка.
Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным однородным, если оно имеет вид
0)()( ... )()(
1
)2(
2
)1(
1
)(
=+
′
++++
−
−−
yxayxayxayxay
nn
nnn
, (4.1)
где )(xyy = – неизвестная функция независимой переменной ] ,[ bax
∈
, )(xyy
′
=
′
, …, )(
)2()2(
xyy
nn −−
= , )(
)1()1(
xyy
nn −−
= ,
)(
)()(
xyy
nn
= – производные неизвестной функции, )( ),( , ... ),( ),(
121
xaxaxaxa
nn−
–некоторые заданные непрерывные функции
на промежутке
] ,[ ba , называемые коэффициентами уравнения (4.1).
В более общей записи линейное однородное уравнение имеет вид
0)()( ... )()()(
1
)2(
2
)1(
1
)(
0
=+
′
++++
−
−−
yxbyxbyxbyxbyxb
nn
nnn
, (4.2)
где )( ),( , ... ),( ),( ),(
1210
xbxbxbxbxb
nn−
– некоторые заданные и непрерывные на
] ,[ ba
функции, причём 0)(
0
≠
xb для
∀ ] ,[ bax ∈ . Но уравнение вида (4.2) всегда можно свести к уравнению вида (4.1) делением обеих его частей на )(
0
xb .
Следовательно, можно ограничиться изучением линейного однородного уравнения (4.1).
Замечание 1.4. Нулевая функция 0)( ≡= xyy ,
∀
] ,[ bax
∈
, является решением ЛОДУ (4.1) (такое решение называется
тривиальным).
Укажем условия, при которых уравнение (4.1) имеет ненулевые (нетривиальные) решения.
ЛОДУ n-го порядка (4.1) является частным случаем линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) n-
го порядка

Страницы