Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

а) любая функция из этого семейства является решением уравнения (3.3), т.е. при любом фиксированном наборе
значений параметров
()
** *
12
, , ... ,
nn
CC C P∈ функция
(
)
****
12
,,, ... ,
n
yxCCC=ϕ является решением уравнения (3.3);
б) решение задачи Коши (3.3), (3.4) при любом фиксированном наборе начальных данных
()
(1)
0000
0
,,,, ... ,
n
x
yyy y G
−
′′′
∈
,
где G – область определения функции
(
)
)1(
, ... ,,,,
−
′′′
n
yyyyxf
, принадлежит этому семейству, т.е. найдётся такой набор
значений параметров
()
00 0
12
,, ... ,
nn
CC C P∈ , что функция
(
)
(0) 0 0 0
12
,,, ... ,
n
yxCCC=ϕ является решением задачи Коши (3.3),
(3.4).
Замечание 3.2. Если на параметры
12
, , ... ,
n
CC C ограничений нет, т.е.
n
n
P Ρ=
, то
12
,, ... ,
n
CC C называются
свободными параметрами (или произвольными постоянными).
Общее решение дифференциального уравнения, заданное в неявном виде
0) , ... ,,,,(
21
=
Φ
n
CCCyx ,
называют общим интегралом этого уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, которое получается из общего
решения этого уравнения при конкретных значениях параметров
*
11
CC
=
,
*
22
CC
=
, …,
*
nn
CC=
()()
nn
PССС ∈
∗∗∗
,...,,
21
.
Частное решение дифференциального уравнения, заданное в неявном виде
(
)
**
2
*
1
, ... ,,,,
n
CCCyxΦ
, называют частным
интегралом этого уравнения.
Простейшим примером дифференциального уравнения n-го порядка является уравнение вида
)(
)(
xfy
n
= .
Его общее решение находится n-кратным интегрированием:
()
(1) (1) ()
1
()
nn n
yydxydxfxdxC
−−
′
===+
∫∫∫
;
(2)
12
()
n
yfxdxCdxC
−

=++

∫∫
и так далее.
Решим, например, уравнение вида
xy 2sin
=
′
′
′
.
Получаем:
1
2cos
2
1
2sin Cxdxxy +−==
′′
∫
;
211
2sin
4
1
2cos
2
1
CxCxdxCxy ++−=
+−=
′
∫
;
32
2
1
21
2
2cos
8
1
2sin
4
1
CxCx
C
xdxCxCxy +++=
++−=
∫
.
Замечание 3.3. Если известно общее решение дифференциального уравнения n-го порядка (оно содержит набор
параметров
()
12
,, ... ,
nn
CC C P∈ ), то для нахождения решения задачи Коши для такого уравнения достаточно найти значения
параметров
12
, , ... ,
n
CC C, при которых выполняются заданные начальные условия, и подставить эти значения в общее
решение уравнения.
В ряде случаев дифференциальное уравнение n-го порядка допускает понижение порядка.
Рассмотрим первый случай понижения порядка. Пусть уравнение (3.1) не содержит в явном виде неизвестную функцию
y :
(
)
()
,, , ... , 0
n
Fxyy y
′′′
= (3.5)
(неизвестная функция y "присутствует" в уравнении (3.5) через свои производные
)(
, ... ,,
n
yyy
′′′
).
Введём вспомогательную неизвестную функцию
)(xzz
=
, положив zy
=
′
. Тогда
()
yy z
′
′′ ′ ′
==, … ,
()()
() (1) (2) (1)nn n n
yy z z
−−−
′′
===
и уравнение (3.5) принимает вид
(
)
(1)
,, , ... , 0
n
Fxzz z
−
′
.
Получили уравнение (1)n − -го порядка. Решая его, находим
z
, а затем, интегрируя полученное выражение, находим
y .
Решим, например, уравнение вида

Страницы