Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

=
=−
′
(2.35) .0)1(
(2.34) ;
4
y
yxy
x
y
1. Найдём общее решение уравнения (2.34), которое является уравнением Бернулли с
2
1
=α
:
xy
x
yy =−
′
−
2
1
2
1
4
;
2
1
yz = , yyz
′
=
′
−
2
1
2
1
,
zyy
′
=
′
−
2
2
1
;
xz
x
z =−
′
4
2
,
2
2 x
z
x
z =−
′
;
0
2
=−
′
z
x
z
;
z
xdx
dz
2
= ,
2
x
dx
z
dz
=
; ln
2
C
x
dx
z
dz
+=
∫∫
;
ln ln2 ln Cxz += ;
2
Cxz = ;
2
)( xxCz = , xxCxxCz 2)()(
2
+
′
=
′
;
2
)(
2
)( 2)(
22
x
xxC
x
xCxxxC =−+
′
;
2
)(
2
x
xxC =
′
,
x
xC
2
1
)( =
′
;
CxxC += ln
2
1
)( ;
2
ln
2
1
xCxz
+= ;
2
zy = ,
2
4
ln
2
1
+= Cxxy
.
2. Подберём значение параметра С так, чтобы выполнялось заданное начальное условие 0)1( =y :
0 1 ln
2
1
1
2
4
=
+ C , 0
2
=C , 0
=
C .
3. Подставим найденное значение 0=C в общее решение урав-нения:
ln
4
2
4
x
x
y = . (2.36)
Функция (2.36) является решением задачи Коши (2.34), (2.35).
Лекция 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Дифференциальное уравнение n-го порядка, решение дифференциального уравнения, задача Коши, теорема
существования и единственности решения задачи Коши, общее решение, общий интеграл, частное решение, частный
интеграл, простейшее дифференциальное уравнение n-го порядка; дифференциальные уравнения n-го порядка, допускающие
понижение порядка.
Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида
(
)
()
, , , , ... , 0
n
Fxyyy y
′′′
= , (3.1)
где
x
– независимая переменная, Ω∈x ,
Ρ⊆Ω
; )(xyy
=
– неизвестная функция независимой переменной
x
; )(xyy
′
=
′
,
)(xyy
′′
=
′′
, …,
)(
)()(
xyy
nn
=
– производные неизвестной функции;
(
)
•
•
•
•
•
, ... , , , , F – некоторая заданная функция своих
аргументов.
Частным случаем уравнения (3.1) является уравнение вида
(
)
() ( 1)
,, , ,... ,
nn
yfxyyyy
−
′′′
=
, (3.2)
которое называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной.
Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется n раз непрерывно дифференцируемая на множестве
Ω функция )(xy ϕ= , при подстановке которой в уравнение получается тождество относительно независимой переменной
Ω∈x .
Замечание 3.1. В данном определении предполагается, что функция )(xy
ϕ
=
удовлетворяет следующему условию:
()
)()( , ... ),(),( ),( ,
)(
FDxxxxx
n
∈ϕϕ
′′
ϕ
′
ϕ ,
Ω
x ,
где )(FD – область определения функции
F
.

Страницы