Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Эта функция является решением уравнения (4.18). В силу (4.20) она удовлетворяет начальным условиям (4.19). Значит,
функция (4.21) является решением задачи Коши (4.18), (4.19). В силу единственности решения задачи Коши (см. следствие
4.1)
y
~
совпадает с
*
y :
nn
yyyy
*
2
*
21
*
1
...
~
α++α+α= .
Итак, решение y
~
представлено в виде (4.12).
В связи с тем, что на основе n линейно независимых решений ЛОДУ n-го порядка можно построить его общее решение,
вводится следующее определение.
Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ n-го порядка называется любая система n линейно независимых
решений этого уравнения.
Выясним, как проверять, будет ли данная система решений
n
yyy , ... , ,
21
ЛОДУ n-го порядка линейно независимой, т.е.
будет ли она давать ФСР. Для этого укажем вначале необходимое условие линейной зависимости n решений ЛОДУ n-го
порядка.
Теорема 4.4. Если
n
yyy , ... , ,
21
линейно зависимые решения уравнения (4.11) на промежутке ] ,[ ba , то их вронскиан
)W(x равен нулю на этом промежутке.
Возьмём нетривиальную линейную комбинацию решений
n
yyy , ... , ,
21
, равную нулю:
0 ...
2211
=α+
+
α
+
α
nn
yyy . (4.22)
Без ограничения общности можно считать, что 0
≠
α
n
. Тогда в силу (4.22)
k
n
k
n
k
n
yy
∑
−
=
α
α
−=
1
1
,
следовательно,
)(
1
1
)( i
k
n
k
n
k
i
n
yy
∑
−
=
α
α
−=
;
1 , ... ,2 ,1
−
=
ni
;
и
)1(
1
1
)1(
1
)1(
2
)1(
1
1
1
121
1
1
121
...
.....................................................
...
...
)W(
−
−
=
−
−
−−
−
=
−
−
=
−
∑
∑
∑
α
α
−
′
α
α
−
′′′
α
α
−
=
n
k
n
k
n
k
n
n
nn
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
yyyy
yyyy
yyyy
x
.
Из линейной алгебры известно [2.5, с. 42], что если один из столбцов определителя есть линейная комбинация его
других столбцов, то такой определитель равен нулю. Следовательно,
0)W(
=
x для ] ,[ bax
∈
.
Следствие 4.3. Если вронскиан )W(x решений
n
yyy , ... , ,
21
уравнения (4.11) в некоторой точке ] ,[
*
bax ∈ отличен от
нуля, то эти решения линейно независимы на промежутке
] ,[ ba .
Действительно,
: решения
n
yyy , ... , ,
21
линейно зависимы на ] ,[ ba . Тогда в силу теоремы 4.4 0)W(
=
x ,
∀
] ,[ bax
∈
.
В частности,
0)W(
*
=x . Противоречие. .
В силу теорем 4.2, 4.4 для вронскиана n решений ЛОДУ n-го порядка существует альтернатива:
• либо 0)W( ≠x для
∀
] ,[ bax ∈
;
•
либо 0)W( =x для
∀
] ,[ bax ∈
,
ибо эти n решений либо линейно независимы на ],[ ba , либо линейно зависимы на ],[ ba .
В силу следствий 4.2 и 4.3 получаем следующее правило проверки n решений
n
yyy , ... , ,
21
ЛОДУ n-го порядка на
линейную независимость.
Вычисляем значение вронскиана
)W(x решений
n
yyy , ... , ,
21
в какой-либо точке ],[
*
bax ∈ . Если 0)W(
*
≠
x , то
n
yyy , ... , ,
21
линейно независимы на ],[ ba , т.е. дают ФСР. Если 0)W(
*
=
x , то
n
yyy , ... , ,
21
линейно зависимы на ],[ ba , т.е.
не являются ФСР уравнения (4.11).
В качестве точки
*
x удобно брать какое-либо простое значение, например, если ],[0 ba
∈
, то можно взять 0
*
=
x .
Докажем теорему о существовании ФСР для ЛОДУ n-го порядка.

Страницы