Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Покажем, что при любых конкретных значениях
12
, , ...,
n
CC C функция вида (5.6) является решением уравнения
(5.2). Действительно, в силу линейности дифференциального оператора L
fLyCLyyCyLLy
n
i
ii
n
i
ii
=+=
+=
∑∑
== 1
*
1
*
,
так как fLy =
*
, 0=
i
Ly , ni , ... ,2 ,1= .
Покажем, что любое решение уравнения (5.2); можно представить в виде (5.6). Пусть
y
~
– произвольное фиксированное
решение уравнения (5.2). Тогда
(
)
0
~
~
**
=
−
=
−
=
−
ffLyyLyyL ,
т.е разность
*
~
yy − является решением ЛОДУ (5.5).
В силу теоремы 4.3 это решение можно записать в виде
∑
=
=−
n
i
ii
yCyy
1
*
~
~
,
откуда
∑
=
+=
n
i
ii
yCyy
1
*
~
~
,
т.е. y
~
представлено в виде (5.6).
В силу теоремы 4.3 общее решение уравнения (5.2) можно записать в виде
0.0*
yyy
+
=
, (5.7)
где
*
y – частное решение ЛНДУ (5.2);
0.0
y – общее решение соответствующего ЛОДУ (5.5).
Из формулы (5.6) видно, что для нахождения общего решения ЛНДУ n-го порядка достаточно найти любое частное
решение этого уравнения и ФСР, соответствующего ЛОДУ.
Частное решение ЛНДУ мы научимся находить лишь в том случае, когда его правая часть имеет специальный вид
(соответствующий материал будет изложен ниже).
В общем случае для решения уравнения (5.2) применяется метод вариации произвольных постоянных (метод
Лагранжа), который заключается в следующем.
1. Находим общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (5.5):
∑
=
=
n
i
ii
yCy
1
0.0
(5.8)
(для этого нужно уметь находить ФСР
n
yyy , ... , ,
21
уравнения (5.5), что мы научимся делать ниже для ЛОДУ n-го порядка с
постоянными коэффициентами).
2. Ищем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (5.2) в том же виде, какой имеет
общее решение, соответствующего ЛОДУ, т.е. в виде (5.8), но только вместо свободных параметров
12
, , ...,
n
CC C
записываем некоторые неизвестные пока функции
)(, ... ),( ),(
21
xCxCxC
n
:
∑
=
=
n
i
ii
yxCy
1
)( . (5.9)
3. Находим )(, ... ),( ),(
21
xCxCxC
n
, подставляя (5.9) в уравнение (5.2):
∑∑
==
′
+
′
=
′
n
i
ii
n
i
ii
yxCyxCy
11
)()( .
Пусть
0)(
1
=
′
∑
=
n
i
ii
yxC ,
тогда
∑
=
′
=
′
n
i
ii
yxCy
1
)( ;
∑∑
==
′′
+
′′
=
′′
n
i
ii
n
i
ii
yxCyxCy
11
)()( .

Страницы