Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.5. ЛОДУ n-го порядка имеет ФСР.
Возьмём произвольный отличный от нуля определитель
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............................
...
...
21
22221
11211
=∆
и некоторое ],[
0
bax ∈ . Рассмотрим n задач Коши вида
==
′′
=
′
=
=
−
(4.24) ,)( , ... ,)( ,)( ,)(
(4.23) ; 0
0
)1(
302010 nj
n
jjj
axyaxyaxyaxy
Ly
nj , ... ,2 ,1
=
.
Пусть
n
yyy , ... , ,
21
– решения этих задач Коши. Такие решения существуют в силу следствия 4.1. В силу (4.24) вронскиан
)W(x этих решений в точке
0
x равен ∆ и, следовательно, отличен от нуля. Значит, решения
n
yyy , ... , ,
21
линейно
независимы на
],[ ba , т.е. дают ФСР.
Из доказательства теоремы 4.5 видно, что ЛОДУ n-го порядка имеет бесконечное множество фундаментальных систем
решений.
Действительно, беря какой-либо другой определитель
0
~
≠∆ , получим другую фундаментальную систему решений.
Теоремы 4.3 и 4.5 означают, что линейное пространство
0
Ω
решений ЛОДУ n-го порядка имеет размерность n, другими
словами, что любая система решений ЛОДУ n-го порядка, состоящая из более чем n решений, линейно зависима.
Лекция 5. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
n-го ПОРЯДКА
Теорема о структуре общего решения ЛНДУ n-го порядка; метод вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим ЛНДУ n-го порядка
)()()( ... )()(
1
)2(
2
)1(
1
)(
xfyxayxayxayxay
nn
nnn
=+
′
++++
−
−−
, (5.1)
где )(xyy = – неизвестная функция независимой переменной ] ,[ bax
∈
; )(xyy
′
=
, …, )(
)2()2(
xyy
nn −−
= , )(
)1()1(
xyy
nn −−
= ,
)(
)()(
xyy
nn
=
– производные неизвестной функции; )( ),( , ... ),( ),(
121
xaxaxaxa
nn−
–некоторые заданные непрерывные
функции на промежутке
] ,[ ba , называемые коэффициентами уравнения (5.1); )(xf – некоторая заданная непрерывная на ] ,[ ba
функция, называемая правой частью уравнения (5.1).
Используя дифференциальный оператор (4.6), уравнение (5.1) можно записать в виде
fLy
=
. (5.2)
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (5.2):
=
′′
=
′′′
=
′
=
=
−
−
(5.4) ,)( , ... ,)( ,)( ,)(
(5.3) ;
)1(
0
0
)1(
000000
n
n
yxyyxyyxyyxy
fLy
где
0
x – произвольное фиксированное число из ] ,[ ba ; , ,,
000
yyy
′
′
′
…, …,
)1(
0
−n
y
– произвольные фиксированные числа,
называемые начальными значениями.
В силу теоремы 4.1 задача Коши (5.3), (5.4) имеет единственное решение, определённое на всём промежутке
] ,[ ba .
Укажем структуру общего решения уравнения (5.2).
Рассмотрим соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение для уравнения (5.2), т.е. уравнение
вида
0
=
Ly . (5.5)
Теорема 5.1. Если
n
yyy , ... , ,
21
– ФСР для ЛОДУ (5.5), а
*
y – фиксированное частное решение ЛНДУ (5.2), то общее
решение ЛНДУ (5.2) задаётся формулой
∑
=
+=
n
i
ii
yCyy
1
*
, (5.6)
где
12
, , ...,
n
CC C– свободные параметры.

Страницы