Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определитель ∆ системы (5.10) является вронскианом )(W x решений
n
yyy , ... , ,
21
, следовательно, 0
≠
∆
, ибо
n
yyy , ... , ,
21
линейно независимы на ],[ ba (см. теорему 4.2). Поэтому система (5.10) имеет единственное решение, которое
можно найти по правилу Крамера или методом исключения неизвестных.
Решая систему (5.10), получаем
)()(
11
xxC ψ=
′
, )()(
22
xxC
ψ
=
′
, … , )()( xxC
nn
ψ
=
′
.
Тогда
1111
)( )()( CxdxxxC +χ=ψ=
∫
,
2222
)( )()( CxdxxxC +χ=ψ=
∫
,
…………………………………..
nnnn
CxdxxxC +χ=ψ=
∫
)( )()( .
4. Подставляя найденные функции
)(, ... ),( ),(
21
xCxCxC
n
в (5.9), получаем семейство решений уравнения (5.2) :
()
∑
=
+χ=
n
i
iii
yCxy
1
)( , (5.11)
где
12
, , ...,
n
CC C – свободные параметры.
Выражение (5.11) можно записать в виде
∑∑
==
+χ=
n
i
ii
n
i
ii
yCyxy
11
)( . (5.12)
Полагая в (5.12) 0
1
=C , 0
2
=C , … , 0=
n
C , получаем частное решение уравнения (5.2) :
∑
=
χ=
n
i
ii
yxy
1
*
)( .
Тогда (5.12) принимает вид
∑
=
+=
n
i
ii
yCyy
1
*
,
следовательно, в силу теоремы 5.1 формула (5.12) даёт общее решение уравнения (5.2).
Итак, общее решение ЛНДУ n-го порядка можно найти методом вариации произвольных постоянных, если известна
ФСР соответствующего ЛОДУ.
Ниже будет указан способ нахождения ФСР для ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Лекция 6. ПОСТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
n-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, общая схема построения ФСР, конкретный пример нахождения
ФСР.
Линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется
уравнение вида
0 ...
1
)2(
2
)1(
1
)(
=+
′
++++
−
−−
yayayayay
nn
nnn
, (6.1)
где )(xyy = – неизвестная функция независимой переменной ) ,(
∞
+
−
∞
∈
x ; )(xyy
′
=
′
, )(xyy
′′
=
′′
, … ,
)(
)()(
xyy
nn
=
–
производные неизвестной функции;
nn
aaaa , , ... , ,
121 −
– некоторые заданные действительные числа, называемые
коэффициентами уравнения.
Используя дифференциальный оператор
→∞+−∞ ) ,( :
n
CL
) ,(
∞
+
−
∞→ C , определяемый для любой функции
) ,( ∞+−∞∈
n
Cu формулой
uauauauauLu
nn
nnn
+
′
++++=
−
−−
1
)2(
2
)1(
1
)(
...
,
уравнение (6.1) можно записать в виде
0
=
Ly . (6.2)

Страницы