Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Уравнение (6.1) – это частный случай ЛОДУ (4.1), когда коэффициенты уравнения (4.1) тождественно равны
постоянным. Следовательно, для уравнения (6.1) справедливы все факты, доказанные для уравнения (4.1), в частности,
справедлива теорема о структуре общего решения ЛОДУ (теорема 4.3), в силу которой общее решение уравнения (6.1)
задаётся формулой
∑
=
=
n
i
ii
yCy
1
, (6.3)
где
{}
1
n
i
i
y
=
– некоторая ФСР уравнения (6.1);
12
, , ...,
n
CC C – свободные параметры.
Построим ФСР уравнения (6.1), т.е. найдём n линейно независимых решений этого уравнения.
Будем искать решения уравнения в виде
x
ey
λ
= . (6.4)
Выясним, при каких λ функция вида (6.4) является решением уравнения (6.1). Имеем
() () () () ()
() ( 1) ( 2)
12 1
...
def
nn n
xx x x xx
nn
Le e a e a e a e ae
−−
λλ λ λ λλ
−
′
=
++ +++=
12
12 1
...
nx n x n x x x
nn
ea ea e aeae
λ−λ −λ λλ
−
=λ + λ + λ + + λ + =
()
12
12 1
...
xn n n
nn
eaa aa
λ−−
−
=λ+λ+λ++λ+
.
Полагая
12
12 1
() ...
nn n
nn
Paa aa
−−
−
λ
=λ + λ + λ + + λ+ , (6.5)
получаем
(
)
()
xx
Le e P
λλ
=
λ . (6.6)
Так как 0≠
λx
e , ∀Ρ∈x , то в силу (6.6)
()
0
x
Le
λ
=
, т.е. функция (6.4) является решением уравнения (6.1) , если
λ
является корнем уравнения
0)(
=
λ
P , (6.7)
или, другими словами, корнем многочлена )(λP .
Многочлен (6.5) называется характеристическим многочленом, уравнение (6.7) – характеристическим уравнением, а
его корни – характеристическими числами ЛОДУ (6.1).
Для получения характеристического уравнения (6.7) достаточно в уравнении (6.1) сделать формальную замену
)(k
y на
k
λ , nk , ... ,2 ,1= , и y на 1
0
=λ .
Из алгебры известно [2.5, с. 157], что любой многочлен степени n имеет в поле комплексных чисел n корней, если
каждый из корней считать столько раз, какова его кратность. Пусть
p
λλλ , ... , ,
21
– корни многочлена )(λP , а
p
rrr , ... , ,
21
–
соответственно их кратности. Заметим, что
np ≤ , nrrr
p
=
+
+
+
...
21
.
Лемма 6.1. Для любого фиксированного
ps
≤
≤1
корню
s
λ
кратности
s
r соответствует
s
r решений уравнения (6.2)
вида
x
s
s
ey
λ
=
1
,
x
s
s
xey
λ
=
2
, … ,
xr
sr
ss
s
exy
λ−
=
1
. (6.8)
Пусть 1=
s
r , т.е.
s
λ является простым корнем. Тогда набор функций (6.8) состоит из одной функции
x
s
ey
λ
= ,
которая, как уже установлено, является решением уравнения (6.2). Пусть
2≥
s
r . Покажем, что для любого Ν
∈
m
справедлива формула
()()
()m
mx x
Lxe Le
λλ
λ
=
. (6.9)
Действительно,
() () () ()
()
()
() ( 1)
11
...
m
m
nn
xxx xx
nn
xx x
Le e a e a e ae
−
λλλ λλ
−
λ
λ

′

=+ ++ + =



() ()
() ()
() ( 1)
1
...
mm
nn
xx
xx
eae
−
λλ
λλ

=+ ++


()
()
()
1
m
m
xx
nn
x
ae ae
λλ
−
λ
λ

′

++



. (6.10)

Страницы