Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где
() () ( ) ()
λ
′
λ−λ+λ=λ
+ )()()1(
sss
r
s
rr
PPP .
Из (6.16) – (6.20) следует (6.15).
Из (6.14) следует, в силу (6.15), что при
1 , ... ,2 ,1
−
=
s
rm
(
)
0
s
x
m
Lxe
λ
=
,
т.е. функции (6.8) являются решениями уравнения (6.2).
В силу леммы 6.1 уравнение (6.2) имеет n решений вида
x
ey
1
11
λ
= ,
x
xey
1
12
λ
= , … ,
xr
r
exy
11
1
1
1
λ−
= ;
x
ey
2
21
λ
= ,
x
xey
2
22
λ
= , … ,
xr
r
exy
22
2
1
2
λ−
= ; (6.21)
…………………………………………………..
x
p
p
ey
λ
=
1
,
x
p
p
xey
λ
=
2
, … ,
xr
pr
pp
p
exy
λ−
=
1
.
Лемма 6.2. Решения (6.21) линейно независимы.
Ограничимся простейшим случаем, когда кратность каждого корня характеристического уравнения равна единице,
т.е. когда все корни характеристического уравнения являются простыми (доказательство в общем случае см. в [1.2, с. 232].
Тогда (6.21) можно записать в виде
x
ey
1
1
λ
= ,
x
ey
2
2
λ
= , … ,
x
n
n
ey
λ
= . (6.22)
Запишем вронскиан решений (6.22):
x
n
n
x
n
x
n
x
n
xx
x
xx
n
n
n
eee
eee
eee
x
λ
−
λ
−
λ
−
λ
λλ
λ
λλ
λλλ
λλλ
=
11
2
1
1
21
...
...................................................
...
...
)W(
21
21
21
.
Тогда
11
2
1
1
21
...
.....................
...
1...11
)0W(
−−−
λλλ
λλλ
=
n
n
nn
n
. (6.23)
Определитель в правой части (6.23) есть известный определитель Вандермонда. Он равен произведению всевозможных
разностей
ji
λ−λ
, где nij ≤<≤1 [2.5, с. 50]. Следовательно,
(
)
∏
≤<≤
≠λ−λ=
nij
ji
1
0)0W( , (6.24)
так как
n
λλλ , ... , ,
21
различны. Из (6.24) вытекает в силу следствия 4.3 линейная независимость решений (6.22).
В силу лемм 6.1 и 6.2 справедливо следующее утверждение.
Теорема 6.1. Система n функций вида (6.21) является ФСР уравнения (6.2).
В силу (6.3) общее решение уравнения (6.2) задаётся формулой
∑∑
=
−
=
λ
=
p
s
r
k
x
k
sk
s
s
exCy
1
1
0
, (6.25)
где
sk
C – свободные параметры ( ps ≤
≤
1 , 10
−
≤≤
s
rk ). В случае, когда ФСР имеет вид (6.22), общее решение уравнения
(6.2) можно записать так:
∑
=
λ
=
n
s
x
s
s
eCy
1
, (6.26)
где
s
C – свободные параметры ( ns ≤≤1 ).
Среди корней характеристического уравнения могут оказаться комплексные числа. Пусть
β+α=λ i
s
– комплексный
корень кратности
s
r характеристического уравнения. Тогда решения (6.8), порождаемые этим корнем, имеют вид
xi
s
ey
)(
1
β+α
=
,
xi
s
xey
)(
2
β+α
=
, … ,
xi
r
sr
exy
s
s
)(
1
β+α
−
=
. (6.27)

Страницы