Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3. Для каждого корня
s
λ записываем решения, порождаемые этим корнем, по следующему правилу:
•
если
s
λ – простой вещественный корень, то ему соответствует одно решение вида
x
s
ey
λ
= ;
•
если
s
λ – вещественный корень кратности
s
r , то ему соответствуют
s
r решений вида (6.8);
•
если β+α=λ i
s
, β−α=λ i
s
– пара простых комплексных сопряженных корней, то им соответствуют два решения
вида (6.31) ;
•
если β+α=λ i
s
, β−α=λ i
s
– пара комплексных сопряжённых корней кратности
s
r , то этой паре соответствуют
s
r2
решений вида (6.29).
Совокупность полученных n решений является ФСР.
Найдём, например, ФСР уравнения
013175 =−
′
+
′
′
−
′
′
′
yyyy . (6.32)
1. Составляем характеристическое уравнение:
013175
23
=−λ+λ−λ . (6.33)
2. Находим его корни: методом подбора видим, что 1
1
=
λ
– корень. Разделим левую часть уравнения на 1
−
λ
:
0
1313
1313
44
13174
134
1 13175
2
2
223
23
−λ
−λ
λ+λ−
−λ+λ−
+λ−λλ−λ
−λ−λ+λ−λ
Решая уравнение 0134
2
=+λ−λ , получаем два комплексных сопряжённых корня i32
2
+
=
λ
, i32
3
−=λ .
3. Записываем ФСР: простому вещественному корню
1
1
=
λ
соответствует решение
x
ey =
1
, паре простых комплексных
сопряжённых корней
i32
2
+=λ , i32
3
−=λ соответствуют два решения
xey
x
3cos
2
2
=
,
xey
x
3sin
2
3
=
. Получили
ФСР :
x
ey =
1
, xey
x
3cos
2
2
= , xey
x
3sin
2
3
= .
В силу (6.3) общее решение уравнения (6.32) имеет вид
xeCxeCeCy
xxx
3sin3cos
2
3
2
21
++= ,
где
321
, , CCC – свободные параметры.
Лекция 7. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Вид ФСР ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, пример решения ЛОДУ второго порядка с
постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных, пример решения задачи Коши.
Важную роль в различных приложениях имеют линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Это обусловлено тем, что при изучении физического процесса приходится, как правило,
учитывать скорость протекания этого процесса и его ускорение, т.е. иметь дело с первой и второй производными искомой
функции, описывающей данный процесс.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
)(
21
xfyayay =
+
′
+
′
′
(7.1)
и соответствующее ему однородное уравнение
0
21
=
+
′
+
′
′
yayay . (7.2)
Запишем характеристическое уравнение
0
21
2
=+λ+λ aa
. (7.3)
Уравнение (7.3) имеет в поле комплексных чисел два корня
1
λ
,
2
λ
. Возможны следующие случаи.
1.
1
λ ,
2
λ – различные вещественные корни. Тогда
ФСР :
x
ey
1
1
λ
= ,
x
ey
2
2
λ
= ,
и общее решение уравнения (7.2) имеет вид

Страницы