Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

xx
eCeCy
21
21
λλ
+= ,
где
21
, CC – свободные параметры.
2.
1
λ ,
2
λ – вещественны и совпадают:
021
λ
=
λ
=λ , т.е. вещественное число
0
λ
является корнем кратности 2
=
r
.
Тогда
ФСР :
x
ey
0
1
λ
= ,
x
xey
0
2
λ
= ,
и общее решение уравнения (7.2) имеет вид
xx
xeCeCy
00
21
λλ
+=
или
(
)
xCCey
x
21
0
+=
λ
.
3.
1
λ ,
2
λ – комплексные числа: β+α=λ i
1
,
β
−
α
=
λ i
2
.
Тогда
ФСР :
xey
x
β=
α
cos
1
,
xey
x
β=
α
sin
2
,
и общее решение уравнения (7.2) имеет вид
xeCxeCy
xx
β+β=
αα
sincos
21
или
(
)
xCxCey
x
β+β=
α
sincos
21
.
Решим, например, следующие уравнения:
1.
06 =−
′
+
′′
yyy :
06
2
=−λ+λ ,
3
1
−
=
λ
, 2
2
=
λ
;
ФСР :
x
ey
3
1
−
= ,
x
ey
2
2
= ,
xx
eCeCy
2
2
3
1
+=
−
.
2. 02510 =+
′
−
′′
yyy :
02510
2
=+λ−λ ,
5
021
=
λ
=
λ
=
λ
;
ФСР :
x
ey
5
1
= ,
x
xey
5
2
= ,
xx
xeCeCy
5
2
5
1
+= .
3. 0136 =+
′
+
′′
yyy :
0136
2
=+λ+λ ,
i23
1
+
−
=
λ , i23
2
−
−
=
λ
;
ФСР : xey
x
2cos
3
1
−
= , xey
x
2sin
3
2
−
= ,
xeCxeCy
xx
2sin2cos
3
2
3
1
−−
+=
.
Для решения ЛНДУ (7.1) применяется метод вариации произвольных постоянных (см. лекцию 5).
Решим, например, уравнение
x
e
yyy
+
=+
′
+
′′
1
1
23
. (7.4)
1. Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения
023
=
+
′
+
′
′
yyy .
Имеем

Страницы