Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Используя основное свойство показательной функции и формулу Эйлера zize
iz
sincos += , ∀Χ∈
z
[2.7, с. 86], эти
решения можно записать в следующей форме:
).sin(cos
.............................................
,)sin(cos
,)sin(cos
1
2
1
xixexy
xixxey
xixey
x
r
sr
x
s
x
s
s
s
β+β=
β+β=
β+β=
α
−
α
α
(6.28)
Решения (6.28) являются комплекснозначными функциями действительной переменной
x
. В практических задачах удобнее
работать с решениями уравнения (6.2) в виде вещественнозначных функций действительной переменной
x
.
Замечание 6.1. Если комплекснозначная функция
=
)(xz
+
)(xu )( xiv
+
является решением уравнения (6.2), т.е. 0
=
Lz ,
то её действительная и мнимая части тоже являются решениями уравнения (6.2), т.е.
0
=
Lu , 0=Lv .
Действительно, используя линейность дифференциального оператора
L , получаем
iLvLuivuLLz
+
=
+
=
)( .
По условию 0=Lz , т.е. 0=+ iLvLu , откуда следует, что 0
=
Lu , 0
=
Lv , так как
21212211
, bbaaibaiba
=
=
⇔+=
+
.
В силу замечания 6.1 вещественнозначные функции вида
sin ;cos
......................................................................
;sin ;cos
;sin ;cos
1
2
1
12
43
21
xexyxexy
xxeyxxey
xeyxey
x
r
r
x
r
r
xx
xx
s
s
s
s
β=β=
β=β=
β=β=
α
−
α
−
−
αα
αα
(6.29)
являются решениями уравнения (6.2), так как эти функции есть действительные и мнимые части комплекснозначных
решений (6.28) уравнения (6.2).
Из алгебры известно [2.5, с. 160], что если комплексное число является корнем кратности
r
многочлена с
действительными коэффициентами, то сопряженное ему число тоже является корнем кратности
r
этого многочлена.
Следовательно,
β−α=λ i
s
является корнем кратности
s
r характеристического многочлена. Решения уравнения (6.2),
порождаемые корнем
s
λ
, имеют вид
).sin(cos
.............................................
,)sin(cos
,)sin(cos
1
2
1
xixexy
xixxey
xixey
x
r
sr
x
s
x
s
s
s
β−β=
β−β=
β−β=
α
−
α
α
(6.30)
В силу замечания 6.1 действительные и мнимые части решений (6.30) тоже являются решениями уравнении (6.2), но эти
решения почти те же, что и решения (6.29) (разница лишь в знаке решений, содержащих
xβsin ).
Если в ФСР (6.21)
s
r комплекснозначных решений (6.28), порождаемых корнем
s
λ
, и
s
r комплекснозначных решений
(6.30), порождаемых корнем
s
λ , заменить
s
r2 вещественнозначными решениями (6.29), то полученная система решений
останется линейно независимой [1.5, с. 237], т.е. будет ФСР уравнения.
Итак, пара комплексных сопряжённых корней
β
+
α
=
λ
i
s
, =λ
s
β
−
α
=
i кратности
s
r характеристического уравнения
порождает
s
r2 вещественнозначных решений (6.29) уравнения (6.2). В частности, пара простых комплексных сопряжённых
корней
β+α=λ i
s
, β−α=λ i
s
порождает два решения уравнения (6.2) вида
xey
x
β=
α
cos
1
, xey
x
β=
α
sin
2
. (6.31)
Замечание 6.2. Пара простых мнимых сопряжённых корней
β
=
λ
i
s
,
β−=λ i
s
порождает два решения уравнения (6.2)
вида
xy
β
=
cos
1
, xy
β
=
sin
2
.
Замечание 6.3. Пара мнимых сопряжённых корней
β
=
λ
i
s
,
=λ
s
β
−
=
i
кратности
s
r порождает
s
r2 решений
уравнения (6.2) вида
.sin ;cos
...........................................................
;sin ;cos
;sin ;cos
1
2
1
12
43
21
xxyxxy
xxyxxy
xyxy
s
s
s
s
r
r
r
r
β=β=
β=β=
β
=
β=
−−
−
Получаем следующий рецепт построения ФСР ЛОДУ n-порядка с постоянными коэффициентами.
1. Составляем характеристическое уравнение.
2. Находим его корни.

Страницы