Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

dxx
y
dy
cos
2
=
;
Cdxx
y
dy
+=
∫∫
cos
2
;
Cx
y
+=− sin
1
;
Cx
y
+
−=
sin
1
. (2.14)
Семейство функций (2.14) есть общее решение уравнения (2.13), записанное в явном виде. Корни уравнения
0
2
=y
,
т.е. функция 0≡y тоже является решением уравнения (2.13).
Это решение нельзя получить из общего решения (2.14), следовательно,
0
≡
y – особое решение уравнения (2.13).
Дифференциальное уравнение называется однородным, если оно имеет вид
0),(),( =
+
dyyxNdxyxM
, (2.15)
где ),( yxM , ),( yxN – некоторые заданные однородные функции одинакового порядка однородности α (функция ),( yx
ψ
называется однородной функцией порядка
α
, если ),(),( yxttytx ψ=ψ
α
для любого
Ρ
∈
t ). По условию ),(),( yxMttytxM
α
= ,
),(),( yxNttytxN
α
= . Тогда (2.15) можно записать в виде
=
⋅⋅
⋅⋅
−=−==
′
x
y
xxN
x
y
xxM
yxN
yxM
dx
dy
y
,1
,1
),(
),(
=
−=
−=
α
α
x
y
f
x
y
N
x
y
M
x
y
Nx
x
y
Mx
def
,1
,1
,1
,1
.
Итак, уравнение (2.15) всегда можно записать в виде
=
′
x
y
fy
. (2.16)
Укажем способ решения уравнения (2.16). Введём вспомогательную неизвестную функцию )(xuu = , положив
x
y
u =
.
Тогда
uxy = , uxuy +
′
=
′
и уравнение (2.16) принимает вид
)(ufuxu
=
+
′
или
x
uuf
u
−
=
′
)(
. (2.17)
Получили уравнение с разделяющимися переменными, которое уже умеем решать.
Итак, уравнение (2.16) с помощью замены
u
x
y
= сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Решая уравнение (2.17) и заменяя в полученном решении величину u на
x
y
, находим решение исходного уравнения
(2.16).
Заметим, что при решении однородного уравнения (2.15) не обязательно приводить его к виду (2.16). Можно сделать
замену
uxy = в самом уравнении (2.15).
Решим, например, уравнение
(
)
22 2
0xyxydxxdy
+
+−=. (2.18)
Это уравнение имеет вид (2.15) с
22
(, )
xy x y xy=++,
2
(, )Nxy x
=
− . Проверим функции ),( yxM , ),( yxN на
однородность:

Страницы