Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1.1. Рассмотрим задачу Коши
x
y
2
cos
1
=
′
, 0)0( =y . (1.20)
Для неё xyxf
2
cos/1),( = . Областью определения функции ),( yxf является множество
2
() (,) | ,
2
Df xy x k k
π

=∈ ≠+π∈


RZ
.
Однако, учитывая начальное условие
0)0( =y , в качестве области G надо взять множество вида
2
(, ) |
22
Gxy x
π
π
=∈−<<

R
.
Полным решением задачи Коши (1.20) является функция xy tg
=
,
ππ
−∈
2
;
2
x
. Заметим, что
−
∞
=
+
π
−→
x
x
tglim
0
2
;
+
∞
=
−
π
→
x
x
tglim
0
2
,
т.е. соответствующая интегральная кривая имеет левостороннюю и правостороннюю вертикальную асимптоты
1
Γ :
2
π
−=x
и
2
Γ :
2
π
=x
.
Для задачи Коши
xy
2
cos/1=
′
, 0)( =πy , полным решением является функция xy tg
=
,
ππ
∈
2
3
;
2
x
.
Если в качестве независимой переменной
x
выступает время t, то задача Коши описывает детерминистский (или
эволюционный) процесс: если задано начальное состояние
00
)( yty
=
системы, моделируемой дифференциальным
уравнением
),( ytfy =
′
, то "будущее" (
0
tt > ) и "прошлое" (
0
tt
<
) этой системы полностью предопределены.
Если в качестве начальной точки взять вместо
(
)
000
, yxM какую-либо другую точку
()
000
~
,
~
~
yxM , то получим полное
решение
)(xy κ= задачи Коши ),( yxfy
=
′
,
(
)
00
~
~
yxy
=
, определённое на интервале
)
βα
~
,
~
(см. рис. 1.3).
В силу единственности решения задачи Коши интегральные кривые
1
L и
2
L не имеют общих точек.
Таким образом, при выполнении условия 3) вся область G покрыта непересекающимися между собой интегральными
кривыми.
Зафиксируем некоторое
(
)
GGx
xx
sup ; inf
0
∈
,
такое, что множество
{}
00
(, ) | GxyGxx=∈=не пусто. В качестве начального значения возьмём любое
0
y , такое, что
000
),( Gyx ∈ . Тогда задача Коши (1.15), (1.16) имеет единственное полное решение ),(
0
yxy
ϕ
=
(для каждого
0
y решение
своё). Беря различные значения для
0
y , получаем бесконечное множество решений уравнения (1.15). В связи с этим введём
следующее определение.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (1.15) называется однопараметрическое семейство
функций
),( Cxy ϕ= (где С – параметр, принимающий любое значение из некоторого множества Ρ⊆P ), удовлетворяющее
следующим условиям:
а) любая функция из этого семейства является решением уравнения (1.15), т.е. при любом фиксированном
PCC
∈
=
*
функция
),(
**
Cxy ϕ= является решением уравнения (1.15);
б) решение задачи Коши (1.15), (1.16) при любом фиксированном наборе начальных данных
Gyx
∈
),(
00
, где G –
область определения функции
),( yxf , принадлежит этому семейству, т.е. найдётся такое значение параметра PCC
∈
=
0
,
что функция
),(
0
)0(
Cxy ϕ= является решением задачи Коши (1.15), (1.16).
Замечание 1.5. Если на параметр С ограничений нет, т.е.
Ρ
=
P
, то С называется свободным параметром (или
произвольной постоянной).
Общее решение уравнения (1.13) определяется аналогично. Задача Коши для этого уравнения имеет вид
(
)
0,,
=
′
yyxF ,
00
)( yxy = .
Если общее решение дифференциального уравнения задано в неявном виде
0),,(
=
Φ
Cyx ,
то его называют также общим интегралом этого уравнения.
Например, семейство функций (1.5) является общим решением уравнения (1.3); семейство функций (1.10) является
общим интегралом уравнения (1.8).

Страницы