Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Получили уравнение, неизвестным в котором является функция )(hp и которое содержит производную неизвестной
функции, т.е. получили дифференциальное уравнение первого порядка.
Пусть
0
p – давление воздуха на уровне моря ( 0
=
h ), т.е.
0
)0( pp
=
. В результате получаем задачу вида
=
−=
′
(1.4) .)0(
(1.3) );( )(
0
pp
hpkhp
Уравнение (1.3) имеет простой вид, что позволяет легко найти его решение:
p
dh
kp
dh
dp
⋅−=
; kdh
p
dp
−= ;
Cdhk
p
dp
+−=
∫∫
; ln ln Ckhp
+
−
=
; kh
p
−=
С
ln ;
kh
Cep
−
= , (1.5)
где C – параметр, Ρ∈C , 0≠C . При каждом конкретном значении C функция (1.5) является решением уравнения (1.3).
Выберем значение
C так, чтобы выполнялось условие (1.4):
00
0
pCpCe
k
=⇒=
⋅−
.
Подставляя найденное значение
0
pC
=
в (1.5), получаем решение задачи (1.3), (1.4):
kh
epp
−
=
0
. (1.6)
Из (1.6) находим интересующую нас зависимость h от p :
p
p
k
h
0
ln
1
= .
Рассмотрим следующую задачу: имеется точечный источник света; нужно найти форму отражателя диаметра d и
глубины h , при которой отражённые от него лучи параллельны центральной оси отражателя.
Введём декартову прямоугольную систему координат
Oxyz , где O – точка, в которой помещён источник света; Ox –
центральная ось отражателя. Рассмотрим сечение
L поверхности отражателя плоскостью 0=z (рис. 1.2):
Рис. 1.2
Пусть
),( yxM
– произвольная точка сечения
L
; )(K – касательная, проведенная к
L
в точке
M
;
OxKA
∩
=
)(
,
OAM∠=α , MnpP
Ox
= ,
)(S
– направление отражённого луча света.
По закону отражения света
SMKOMA ∠=
∠
. Но OAMSMK
∠
=
∠
, следовательно,
α
=
∠=∠ OAMOMA , т.е. OMA
∆
равнобедренный:
OMOA
=
. (1.7)
В силу того, что x
y
y
OP
MP
OPAPOA
−
′
=−
α
=−=
tg
,
2222
yxMPOPOM +=+= , соотношение (1.7) принимает вид
22
yxx
y
y
+=−
′
. (1.8)
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, которому удовлетворяет функция )(xyy = , описывающая форму
сечения
L .

Страницы