Математический анализ I. Фомин В.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим, например, задачу о вычислении длины гипотенузы прямоугольного тре-
угольника с катетами 2 и 3 (рис. 1.1).
По теореме Пифагора
2 2 2
2 3 13
x
= + =
.
Замечание 1.1.
Не существует рационального числа, квадрат которого равен 13.
Действительно, :
2
| 13
p p
q q
∃ ∈ =
Q
. Без ограничения общности можно считать,
что
(
)
1, =
qp
, т.е.
p
и
q
взаимно простые числа. Тогда
2 2 2
13 13| 13|
= ⇒ ⇒
, т.е
13
p r
=
. Имеем
:
( )
2
2
13 13
r q
=
2 2
13
q r
⇒ =
2
13 | 13|
q q
⇒ ⇒
.
Получили
:
13 |
p
и
13 |
q
,
что
противоречит
условию
(
)
1, =
qp
. .
Таким
образом
,
длина
x
гипотенузы
AB
не
может
быть
выражена
рациональным
числом
и
для
решения
поставленной
задачи
необходимо
ввести
новые
числа
,
которые
в
дальнейшем
будем
называть
иррациональными
числами
.
Введём
понятие
иррационального
числа
.
Для
этого
понадобится
понятие
сечения
в
области
рациональных
чисел
.
Определение 1.1.
Сечением в области рациональных чисел
называется
разбиение
множества
Q
на
два
непустых
мно
-
жества
A
и
A
′
,
удовлетворяющих
следующим
условиям
:
1)
A A
′
∩ = ∅
;
2)
для
,
a A a A a a
′ ′ ′
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ <
,
при
этом
множество
A
называется
нижним классом сечения
,
множество
A
′
–
верхним классом сечения
.
Обозначение
сечения
:
AA
′
|
.
Замечание 1.2.
Если
a A
∈
,
то
для
1 1
a a a A
∀ < ⇒ ∈
.
Действительно
, :
1
a A
∈
,
тогда
1
a A
′
∈
.
Имеем
:
1
,a A a A
′
∈ ∈ ⇒
1
a a
<
по
условию
2).
Противоречие
. .
Замечание 1.3.
Если
a A
′ ′
∈
,
тогда
1 1
a a a A
′ ′ ′ ′
∀ > ⇒ ∈
.
Действительно
, :
1
a A
′ ′
∈
,
тогда
1
a A
′
∈
.
Получили
:
1
a A
′
∈
,
a A
′ ′
∈
1
a a
′ ′
⇒ <
по
условию
2).
Противоречие
. .
Замечание 1.4.
Не
существует
сечения
в
области
рациональных
чисел
,
для
которого
в
нижнем
классе
имеется
наиболь
-
шее
число
и
в
верхнем
классе
есть
наименьшее
число
.
Действительно
, :
0
| |
A A a
′
∃
–
наибольшее
число
в
классе
A
,
0
a
′
–
наименьшее
число
в
классе
A
′
.
Тогда
0 0
a a
′
<
в
силу
условия
2)
из
определения
1.1.
В
силу
плотности
области
рациональных
чисел
0 0
|
r a r a
′
∃ ∈ < <
Q
.
Заметим
,
что
r A
∈
,
ибо
если
бы
r A
∈
,
то
0
a
не
было
бы
наибольшим
числом
в
классе
A
.
Далее
,
r A
′
∈
,
ибо
если
бы
r A
′
∈
,
то
0
a
′
не
было
бы
наименьшим
числом
в
классе
A
′
.
Получили
:
r A
∈
,
r A
′
∈
r A A
′
⇒
∈ ∪
,
т
.
е
.
r
∈
Q
ибо
A A
′
∪ =
Q
(
см
.
определе
-
ние
1.1).
Противоречие
. .
Рассмотрим
примеры
сечений
в
области
рациональных
чисел
.
Пример 1.1.
Пусть
r
∈
Q
,
r
фиксировано
.
Положим
{
}
|
A a a r
= ∈ <
Q
,
{
}
|
A a a r
′ ′ ′
= ∈ ≥
Q
.
Заметим
,
что
A
≠ ∅
,
A
′
≠ ∅
,
A A
′
∪ =
Q
и
множества
A,
A
′
удовлетворяют
условиям
1), 2).
Следовательно
,
AA
′
|
–
сечение
в
области
рацио
-
нальных
чисел
.
Верхний
класс
A
′
содержит
наименьшее
число
r
,
следовательно
,
в
силу
замечания
1.4,
в
нижнем
классе
A
нет
наибольшего
числа
,
т
.
е
.
a A
∀ ∈
2 2
|
a A a a
∃ ∈ >
.
Будем
говорить
,
что
построенное
сечение
AA
′
|
определяет
рациональ
-
ное
число
r
(
это
число
r
является
пограничным
между
классами
A
и
A
′
).
Пример 1.2.
Пусть
r
∈
Q
,
r
фиксировано
.
Положим
{
}
|
A a a r
= ∈ ≤
Q
,
{
}
|
A a a r
′ ′ ′
= ∈ >
Q
.
Очевидно
,
что
AA
′
|
яв
-
ляется
сечением
в
области
рациональных
чисел
.
Нижний
класс
A
содержит
наибольшее
число
r
,
следовательно
,
в
силу
за
-
мечания
1.4,
в
верхнем
классе
A
′
нет
наименьшего
числа
,
т
.
е
.
для
a A
′ ′
∀ ∈
2 2
|
a A a a
′ ′ ′ ′
∃ ∈ <
.
Построенное
сечение
AA
′
|
оп
-
ределяет
рациональное
число
r
,
которое
является
пограничным
между
классами
A
и
A
′
.
Итак
,
любое
рациональное
число
r
определяется
либо
сечением
из
примера
1.1,
либо
сечением
из
примера
1.2.
Замечание 1.5.
В
дальнейшем
будем
считать
для
определённости
,
что
рациональное
число
r
определяется
сечением
из
примера
1.1,
т
.
е
.
сечением
,
нижний
класс
которого
не
имеет
наибольшего
числа
,
а
верхний
класс
имеет
наименьшее
число
;
другими
словами
,
будем
включать
рациональное
число
r
в
верхний
класс
сечения
,
определяющего
это
число
.
Пример 1.3.
Пусть
{
}
| 0
A a a
= ∈ ≤
Q
{
}
2
| 0, 13
a a a
∪ ∈ > <
Q
,
{
}
2
| 0, 13
A a a a
′ ′ ′ ′
= ∈ > >
Q
.
Имеем
:
A
≠ ∅
,
A
′
≠ ∅
и
в
силу
замечания
1.1
A A
′
∪ =
Q
.
Множества
A,
A
′
удовлетворяют
условиям
1), 2).
Следовательно
,
AA
′
|
–
сечение
в
облас
-
ти
рациональных
чисел
.
Покажем
,
что
в
классе
A
нет
наибольшего
числа
.
Если
a A
∈
и
0
a
≤
,
то
любое
2
a A
∈
,
2
0
a
>
,
больше
a
.
Возьмём
произвольное
фиксированное
a A
∈
,
0
a
>
(
это
означает
,
что
2
13
a
<
2
13 0
a
⇒
− >
).
Покажем
,
что
при
достаточно
большом
натуральном
n
число
вида
2
1
a a
n
= +
удовлетворяет
условию
2
a A
∈
,
т
.
е
.
2
2
13
a
<
:
Рис. 1.1

Страницы