Математический анализ I. Фомин В.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 1.4. Будем считать, что
α = β
, если сечения
AA
′
|
и
|
B B
′
, определяющие числа
α
и
β
, совпадают, т.е.
A B
и
A B
′ ′
=
.
Замечание 1.8.
В определении 1.4 достаточно потребовать, чтобы
A B
(или
A B
′ ′
=
).
Действительно, если
A B
, то
\
A A
′
=
Q
совпадает
с
\
B B
′
=
Q .
Как
сравнивать
по
величине
два
рациональных
числа
,
известно
из
школьного
курса
математики
.
Пусть
α ∈
W
,
β∈
Q
,
AA
′
|
–
сечение
,
определяющее
число
α
.
Тогда
,
по
определению
,
если
A
β∈
,
то
α > β
,
если
A
′
β∈
,
то
β > α
.
Пусть
,
α β∈
W
;
AA
′
|
и
|
B B
′
–
сечения
,
определяющие
числа
α
и
β
.
Тогда
по
определению
,
α > β
,
если
A B
⊃
и
A B
(
другими
словами
,
если
A B
′ ′
⊂
и
A B
′ ′
≠
).
Замечание 1.9.
Для
любых
,
α β∈
R
либо
α = β
,
либо
α > β
,
либо
β > α
.
Действительно
,
пусть
AA
′
|
и
|
B B
′
–
сечения
,
определяющие
числа
α
и
β
.
Тогда
,
если
A B
,
то
α = β
;
если
A B
⊃
и
A B
,
то
α > β
;
если
A
не
содержит
в
себе
B
,
то
0 0
|
b B b A
∃ ∈ ∈
0
b A
′
⇒ ∈ ⇒
0
a b
<
для
a A
∀ ∈
(
в
силу
условия
2)
из
определения
1.1);
получили
:
0
b B
и
0
a b
<
для
a A
∀ ∈
a B
⇒ ∈
для
a A
∀ ∈
(
в
силу
замечания
1.2)
B A
⇒ ⊃
и
B A
(
ибо
0
b A
∈
)
⇒
β > α
.
Введём
понятие
знака
<.
Будем
считать
,
что
α < β
,
если
β > α
.
Вещественное
число
α
называется
положительным
,
если
0
α >
;
и
отрицательным
,
если
0
α <
.
Вещественные
числа
обладают
свойством
транзитивности
:
если
, ,
α β γ ∈
R
и
α > β
,
β > γ
,
то
α > γ
.
Действительно
,
пусть
AA
′
|
,
|
B B
′
,
|
C C
′
–
сечения
,
определяющие
числа
α
,
β
,
γ
.
Тогда
,
,
,
A B A B
A C A C
B C B C
α > β ⇒ ⊃ ≠
⇒ ⊃ ≠ ⇒ α > γ
β > γ ⇒ ⊃ ≠
.
Возникает
естественный
вопрос
:
как
много
иррациональных
чисел
.
Рассмотрим
множество
простых
чисел
:
L
{
}
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
=
.
Замечание 1.10.
Множество
L
бесконечно
.
Действительно
, :
множество
L
конечно
,
т
.
е
.
L
{
}
1 2
, , ... ,
n
l l l
=
.
Рассмотрим
число
1 2
... 1
n
c l l l
= ⋅ ⋅ ⋅ +
.
Заметим
,
что
i
c l
>
,
1
i n
∀ ≤ ≤
⇒
c
является
составным
числом
⇒
i
l
∃ ∈
L
| | |1
i i
l c l
⇒
.
Противоречие
. .
Замечание 1.11.
Для
простого
числа
l
не
существует
рационального
числа
,
квадрат
которого
равен
l
.
Чтобы
убедиться
в
справедливости
замечания
1.11
достаточно
в
пояснении
к
замечанию
1.1
число
13
заменить
на
число
l
.
Теорема 1.1.
Множество
иррациональных
чисел
бесконечно
.
Пусть
l
∈
L
,
l
фиксировано
.
Положим
{
}
| 0
A a a
= ∈ ≤ ∪
Q
{
}
2
| 0,
a a a l
∪ ∈ > <
Q
,
{
}
2
| 0,
A a a a l
′ ′ ′ ′
= ∈ > >
Q
.
Заметим
,
что
A
≠ ∅
,
A
′
≠ ∅
и
в
силу
замечания
1.11 A A
′
∪ =
Q
.
Множества
A,
A
′
удовлетворяют
условиям
1), 2)
из
опре
-
деления
1.1,
следовательно
,
AA
′
|
–
сечение
в
области
рациональных
чисел
.
В
нижнем
классе
A
нет
наибольшего
числа
,
а
в
верхнем
классе
A
′
нет
наименьшего
числа
(
чтобы
убедиться
в
этом
,
достаточно
в
рассуждениях
из
примера
1.3
число
13
заменить
на
число
l
).
Следовательно
,
сечение
AA
′
|
определяет
иррациональное
число
l
α =
.
Таким
образом
,
для
каждого
простого
числа
l
можно
построить
иррациональное
число
l
α =
,
при
этом
,
если
1 2
,
l l
∈
L
,
1 2
l l
≠
,
то
1 2
l l
≠
,
ибо
сече
-
ния
,
определяющие
числа
1 2
,
l l
,
не
совпадают
.
Следовательно
,
в
силу
бесконечности
множества
L
(
см
.
замечание
1.10)
множество
W
бесконечно
.
Известно
[10,
с
. 22],
что
иррациональных
чисел
"
существенно
больше
",
чем
рациональных
чисел
.
Л е к ц и я 2.
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
(
продолжение
)
Свойство усиленной плотности области вещественных чисел
;
сечение в области вещественных чисел
;
полнота области
вещественных чисел
;
представление вещественного числа десятичной дробью
;
числовая ось
,
взаимно однозначное соответ-
ствие между множеством вещественных чисел и множеством точек числовой оси
;
основные виды числовых множеств
:
сег-
мент, интервал
,
полуинтервал
,
замкнутая полуось
,
открытая полуось.
Область
рациональных
чисел
обладает
свойством
плотности
:
для
каждой
пары
различных
рациональных
чисел
найдёт
-
ся
рациональное
число
,
которое
заключено
строго
между
ними
.
Аналогичное
свойство
присуще
области
вещественных
чи
-
сел
.
Теорема 2.1.
Для
каждой
пары
различных
вещественных
чисел
найдётся
рациональное
число
,
которое
заключено
стро
-
го
между
ними
.

Страницы