Математический анализ I. Фомин В.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 2.2
(
теорема Дедекинда
). Для всякого сечения
|
′
A A
в области вещественных чисел существует веществен-
ное число
γ
, которое производит это сечение. Это число
γ
будет либо наибольшим в нижнем классе
A
, либо наименьшим
в верхнем классе
′
A
.
Пусть
A
= ∩
A –
множество
всех
рациональных
чисел
,
принадлежащих
классу
A
; A
′ ′
= ∩
Q
A –
множество
всех
рациональных
чисел
,
принадлежащих
классу
′
A
.
Тогда
|
A A
′
является
сечением
в
области
рациональных
чисел
.
Это
сече
-
ние
определяет
некоторое
вещественное
число
γ
:
|A A
′
→ γ
.
Так
как
′
∪ =
R
A A =
и
′
∩ = ∅
A A =
(
см
.
определение
2.1.),
то
либо
γ ∈
A
,
либо
′
γ ∈
A
.
Пусть
γ ∈
A
.
Покажем
,
что
γ
является
наибольшим
числом
в
классе
A
. :
1 1
|
∃α ∈ α > γ
A
.
Тогда
по
теореме
2.1
1
|r r
∃ ∈ α > > γ
Q
.
Имеем
:
1
α ∈
A
,
1
r
< α
⇒
(
в
силу
замечания
2.1)
⇒
r
∈
A
⇒
r A
∈
.
Далее
,
|
A A
′
→ γ
,
r
> γ
⇒
r A
′
∈
.
Получили
:
r A
∈
и
r A
′
∈
⇒
r A A
′
∈ ∩ = ∅
.
Противоречие
. .
Итак
,
γ
–
наибольшее
число
в
классе
A
и
в
силу
замечания
2.3
в
классе
′
A
нет
наименьшего
числа
⇒
|
′
→ γ
A A
.
Пусть
′
γ ∈
A
.
Покажем
,
что
γ
является
наименьшим
числом
в
классе
′
A
. :
0 0
|
′ ′ ′
∃α ∈ α < γ
A
.
Тогда
по
теореме
2.1
0
|
r r
′
∃ ∈ α < < γ
Q
.
Имеем
:
0
′ ′
α ∈
A
,
0
r
′
> α
⇒
(
в
силу
замечания
2.2)
⇒
r
′
∈
A
⇒
r A
′
∈
.
Далее
,
|
A A
′
→ γ
,
r
< γ
⇒
r A
∈
.
Получили
:
r A
∈
и
r A
′
∈
⇒
r A A
′
∈ ∩ = ∅
.
Противоречие
. .
Итак
,
γ
–
наименьшее
число
в
классе
′
A
и
в
силу
замеча
-
ния
2.3
в
классе
A
нет
наибольшего
числа
⇒
|
′
→ γ
A A
.
Из
теоремы
Дедекинда
следует
,
что
не
существует
сечения
в
области
вещественных
чисел
,
для
которого
в
нижнем
клас
-
се
нет
наибольшего
числа
и
в
верхнем
классе
нет
наименьшего
числа
,
т
.
е
.
в
области
вещественных
чисел
пробелы
отсутст
-
вуют
и
нет
основания
для
введения
новых
чисел
.
По
этой
причине
говорят
,
что
область
вещественных
чисел
обладает
свой
-
ством
полноты
(
непрерывности или сплошности
).
Укажем
,
как
представлять
вещественные
числа
десятичными
дробями
.
Напомним
,
что
= ∪
R Q W
,
где
Q
–
множество
рациональных
чисел
;
W
–
множество
иррациональных
чисел
.
Если
α ∈
Q
,
то
α
представляется
в
виде
конечной
десятичной
дроби
,
например
,
1
0,25
4
=
,
или
в
виде
бесконечной
пе
-
риодической
десятичной
дроби
,
например
,
7
2,(3)
3
=
.
Пусть
α ∈
W
.
Рассмотрим
сечение
|
A A
′
в
области
рациональных
чисел
,
определяющее
число
α
.
Пусть
0
C
–
наи
-
большее
целое
число
в
классе
A
,
тогда
0
1
C
+
будет
наименьшим
целым
числом
в
классе
A
′
.
Следовательно
,
0 0
1
C C
< α < +
.
Рассмотрим
конечные
десятичные
дроби
вида
0 0 0 0 0
,0; ,1; ,2; ... ; ,9; 1
C C C C C
+
(2.3)
(
числа
вида
(2.3)
являются
рациональными
числами
).
Тогда
0 1 0 1
1
, ,
10
C c C c< α < +
,
где
1
c
–
одна
из
цифр
0; 1; 2; … ; 9.
Рассмотрим
конечные
десятичные
дроби
вида
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
2
1
, 0; , 1; , 2; ... ; , 9; , 9
10
C c C c C c C c C c +
.
Тогда
0 1 2 0 1 2
2
1
, ,
10
C c c C c c< α < +
,
где
2
c
–
одна
из
цифр
0; 1; 2; … ; 9.
Продолжая
этот
процесс
,
получим
на
n
-
ном
шаге
:
0 1 2 0 1 2
1
, ... , ...
10
n n
n
C c c c C c c c< α < +
(2.4)
и
т
.
д
.
В
результате
получаем
бесконечную
десятичную
дробь
вида
0 1 2
, ... ...
n
C c c c
, (2.5)
которую
будем
рассматривать
как
представление
иррационального
числа
α
.
Эта
дробь
является
непериодической
,
ибо
лю
-
бая
бесконечная
периодическая
дробь
представляет
рациональное
число
,
например
,
53 0,02
5,3(2) 5,3 0,02 0,002 ...
10 1 0,1
= + + + = + =
−

Страницы