ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пусть
,
α β∈
R
;
α ≠ β
.
Рассмотрим
,
например
,
случай
α > β
.
Покажем
,
что
|r r
∃ ∈ α > > β
Q
.
Пусть
AA
′
|
и
|
B B
′
–
сечения
,
определяющие
числа
α
и
β
.
По
условию
α > β
,
т
.
е
.
A B
⊃
и
A B
≠ ⇒
1 1 1
|
r A r B r B
′
∃ ∈ ∈ ⇒ ∈
;
1 1
1
1 1
r A r
r
r B r
∈ ⇒ α >
⇒ α > ≥ β
′
∈ ⇒ ≥ β
(2.1)
(
знак
равенства
может
иметь
место
в
случае
β∈
Q
,
ибо
если
β∈
Q
,
то
в
силу
замечания
1.5
B
′
β∈
и
число
1
r
может
совпасть
с
β
).
В
силу
замечания
1.7
в
классе
A
нет
наибольшего
числа
1
|
r A r r
⇒ ∃ ∈ >
.
Имеем
:
1
1
r A r
r r
r r
∈ ⇒ α >
⇒ α > >
>
. (2.2)
Из
(2.1), (2.2)
следует
,
что
r
α > > β
.
Следствие 2.1.
Для
каждой
пары
различных
вещественных
чисел
найдётся
бесконечное
множество
рациональных
чи
-
сел
,
каждое
из
которых
заключено
строго
между
данными
вещественными
числами
.
Действительно
,
пусть
,
α β∈
R
,
α ≠ β
.
Пусть
,
для
определённости
,
α > β
.
Тогда
по
теореме
2.1
1 1
|r r
∃ ∈ α > > β
Q
;
для
пары
чисел
1
,
r
α
2 2 1
|
r r r
∃ ∈ α > >
Q
;
для
пары
чисел
2
,
r
α
3 3 2
|
r r r
∃ ∈ α > >
Q
и
т
.
д
.
Числа
i
r
,
1 i
≤ < ∞
,
удовлетворяют
усло
-
вию
i
r
α > > β
.
В
теореме
2.1
доказано
,
что
,
∀α β∈
R
,
α ≠ β
∃
вещественное
число
r
,
строго
заключённое
между
α
и
β
(
т
.
е
.
доказа
-
но
свойство
плотности
области
вещественных
чисел
)
и
,
кроме
того
,
уточнена
природа
вещественного
числа
r
,
а
именно
,
r
∈ ⊂
Q R
.
По
этой
причине
доказанное
свойство
называется
свойством усиленной плотности области вещественных чисел.
Исследуя
при
помощи
аппарата
сечений
область
рациональных
чисел
,
мы
обнаружили
в
ней
пробелы
,
послужившие
нам
поводом
для
введения
новых
чисел
.
Введя
иррациональные
числа
,
мы
заполнили
эти
пробелы
.
Возникает
вопрос
:
ис
-
пользуя
аппарат
сечений
,
можно
ли
в
области
вещественных
чисел
обнаружить
пробелы
(
если
бы
такие
пробелы
обнаружи
-
лись
,
то
это
послужило
бы
поводом
для
введения
новых
чисел
).
Определение 2.1.
Сечением в области вещественных чисел
называется
разбиение
множества
R
на
два
непустые
мно
-
жества
A
и
′
A
,
удовлетворяющие
следующим
условиям
:
1)
′
∩ = ∅
A A =
;
2)
для
,
′ ′ ′
∀α ∈ ∀α ∈
⇒
α < α
A A ,
при
этом
множество
A
называется
нижним классом сечения
,
множество
′
A
–
верхним классом сечения
.
Обозначение
сечения
:
|
′
A A
.
Замечание 2.1.
Если
α ∈
A
,
то
для
1 1
∀α < α ⇒ α ∈
A
.
Замечание 2.2.
Если
′ ′
α ∈
A
,
то
для
1 1
′ ′ ′ ′
∀α > α ⇒ α ∈
A
.
Замечание 2.3.
Не
существует
сечения
в
области
вещественных
чисел
,
для
которого
в
нижнем
классе
имеется
наиболь
-
шее
число
и
в
верхнем
классе
есть
наименьшее
число
.
Действительно
, :
0
| |
′
∃ α
A A
–
наибольшее
число
в
классе
A
,
0
′
α
–
наименьшее
число
в
классе
′
A
.
Тогда
0 0
′
α < α
в
силу
условия
2)
из
определения
2.1.
В
силу
теоремы
2.1
0 0
|
r r
′
∃ ∈ α < < α
Q
.
Имеем
:
0
r r
> α ⇒ ∈
A
,
ибо
0
α
–
наибольшее
число
в
классе
A
;
0
r r
′ ′
< α ⇒ ∈
A
,
ибо
0
′
α
–
наименьшее
число
в
классе
′
A
.
Получили
:
r
∈
A
,
r
′
∈
A
r
′
⇒ ∈ ∪
A A
,
т
.
е
.
r
∈
R
ибо
по
определению
2.1
′
∪ =
R
A A
.
Противоречие
. .
Рассмотрим
примеры
сечений
в
области
вещественных
чисел
.
Пример 2.1.
Пусть
γ ∈
R
,
γ
фиксировано
.
Положим
{
}
|
= α∈ α < γ
RA
,
{
}
|
′ ′ ′
= α ∈ α ≥ γ
RA
.
Заметим
,
что
≠ ∅
A
,
′
≠ ∅
A
,
ибо
в
R
нет
наименьшего
числа
и
нет
наибольшего
числа
(
это
следует
из
того
,
что
в
⊂
Z R
нет
наименьшего
и
наибольшего
чисел
).
Далее
,
′
∪ =
R
A A =
и
множества
A
,
′
A
удовлетворяют
условиям
1), 2).
Следовательно
,
|
′
A A
–
сече
-
ние
в
области
вещественных
чисел
.
Верхний
класс
′
A
содержит
наименьшее
число
γ
,
следовательно
,
в
силу
замечания
2.3
в
нижнем
классе
A
нет
наибольшего
числа
.
Будем
говорить
,
что
построенное
сечение
|
′
A A
определяет
вещественное
чис
-
ло
γ
(
γ
является
пограничным
числом
между
классами
A
и
′
A
).
Обозначение
:
|
′
→ γ
A A
.
Пример 2.2.
Пусть
γ ∈
R
,
γ
фиксировано
.
Положим
{
}
|
= α∈ α ≤ γ
RA
,
{
}
|
′ ′ ′
= α ∈ α > γ
RA
.
Очевидно
,
что
|
′
A A
является
сечением
в
области
вещественных
чисел
.
Нижний
класс
A
содержит
наибольшее
число
γ
,
следовательно
,
в
силу
замечания
2.3
в
верхнем
классе
′
A
нет
наименьшего
числа
.
Построенное
сечение
|
′
A A
определяет
вещественное
число
γ
,
которое
является
пограничным
между
классами
A
и
′
A
.
Мы
видим
,
что
любое
вещественное
число
γ
определяется
либо
сечением
из
примера
2.1,
либо
сечением
из
примера
2.2.
Покажем
,
что
при
рассмотрении
сечений
в
области
вещественных
чисел
пробелов
не
возникает
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
