Математический анализ I. Фомин В.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

=
53 0,02 53 2
10 0,9 10 90
+ = + =
90
479
(здесь использована формула
1
1
b
S
q
=
−
для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
Итак, каждое иррациональное число представимо в виде бесконечной, непериодической десятичной дроби.
Из (2.4) видно, что в качестве приближенного значения иррационального числа
α
по недостатку можно взять рацио-
нальное число
0 1 2
n
C c c c
, а по избытку – рациональное число
0 1 2
1
, ...
10
n
n
C c c c +
:
0 1 2 *
, ...
n
C c c c r
α ≈ =
или
*
0 1 2
1
, ...
10
n
n
C c c c r
α ≈ + =
.
Заметим, что
*
*
1
10
n
r r− =
, следовательно, разность между десятичными приближениями иррационального числа по не-
достатку и избытку можно сделать при увеличении
n
сколь угодно малой, ибо при достаточно больших
n
величина
1
10
n
ста-
новится меньше наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа
δ
.
Укажем геометрическую интерпретацию вещественных чисел.
Рассмотрим координатную ось
Ox
, т.е. прямую, на которой указаны точка
О
(начало отсчёта), масштабный отрезок
ОЕ
(его величину мы считаем равной единице) и положительное направление от
О
к
Е
(рис. 2.1).
Рис. 2.1
Точка
О
делит координатную ось на две части: положительную полуось (часть, содержащая точку
Е
) и отрицательную
полуось. Рассмотрим точку
M
Ox
∈
.
Координатой точки
M
называется длина отрезка
ОМ
,
взятая со знаком "+", если
M
принадлежит положительной полу-
оси, и со знаком "–", если
M
принадлежит отрицательной полуоси (координата точки
O
считается равной нулю).
Тот факт, что точка
M
имеет координату
x
, обозначают так:
М
(
х
). Например, на рис. 2.1
)5(
1
M
,
)5,2(
2
−M
.
Замечание 2.4.
Между множеством вещественных чисел и множеством точек координатной оси
Ox
существует взаим-
но однозначное соответствие.
Действительно, каждому вещественному числу
x
можно поставить в соответствие точку
M
( )
x
координатной оси
Ox
,
т.е. точку, координата которой равна
x
; каждой точке
M
( )
x
координатной оси
Ox
можно поставить в соответствие дейст-
вительное число
x
, т.е. координату этой точки, при этом, если
1 2
x x
≠
, то
1 1 2 2
( ) ( )
M x M x
≠
и, наоборот, если
1 1 2 2
( ) ( )
M x M x
≠
, то
1 2
x x
≠
.
В силу замечания 2.4 вещественные числа можно изображать точками на координатной оси, обозначая каждую такую
точку тем вещественным числом, которое изображается данной точкой (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Ось, изображённую на рис. 2.2, называют
числовой осью
(или
чис-
ловой прямой
). Числовая ось обозначается символом
(
)
,
−∞ + ∞
. Таким образом, геометрической интерпретацией множест-
ва вещественных чисел служит числовая ось от минус бесконечности до плюс бесконеч-
ности (символы
,
−∞ + ∞
называются "несобственными числами").
Укажем основные виды числовых множеств:
1)
сегмент
(
замкнутый промежуток
или
отрезок
):
[
]
{
}
, |
a b x a x b
= ∈ ≤ ≤
R
(предполагается, что
a b
<
;
a
и
b
называются соответственно левым и правым концами сегмента или граничными точками
сегмента; разность
b a
−
называется длиной сегмента; определение разности вещественных чисел см. в лекции 4). На число-
вой оси сегменту
[
]
,
a b
соответствует отрезок той же длины (рис. 2.3).

Страницы