Математический анализ I. Фомин В.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 3.1. Множество
Ω
называется
ограниченным сверху
, если
|
M x M
∃ ∈ ≤R
для
x
∀ ∈Ω
, (3.1)
при этом число
М
называется
верхней границей
(
верхней гранью
)
множества
Ω
.
Замечание 3.1.
Если множество
Ω
ограничено сверху, то множество
U
Ω
всех его верхних границ бесконечно.
Действительно, пусть множество
Ω
ограничено сверху, т.е. выполняется (3.1). Тогда для
, 0
∀β∈ β >
R
число
M M
β
= + β
тоже
является
верхней
границей
множества
Ω
,
ибо
β
<
,
следовательно
,
в
силу
(3.1)
и
свойства
транзитив
-
ности
вещественных
чисел
x M
β
<
для
x
∀ ∈ Ω
.
Получили
:
{
}
| , 0
U M M
Ω β
⊃ = +β β∈ β >
R
,
т
.
е
.
множество
U
Ω
содержит
в
себе
бесконечное
множество
⇒
U
Ω
бесконечно
.
Естественный
интерес
представляет
наименьшая
из
верхних
границ
ограниченного
сверху
множества
(
т
.
е
.
наименьшее
число
из
множества
U
Ω
),
если
такая
наименьшая
граница
существует
(
множество
U
Ω
бесконечно
,
а
в
бесконечном
множе
-
стве
может
и
не
быть
наименьшего
числа
,
например
,
на
открытой
полуоси
);1( ∞+
нет
наименьшего
числа
).
Определение 3.2.
Точной верхней гранью
(
точной верхней границей или супремумом
)
ограниченного
сверху
множест-
ва
Ω
называется
наименьшая
верхняя
граница
этого
множества
,
если
она
существует
.
Обозначение
:
sup
Ω
или
{
}
sup
x
x
∈Ω
(supremum (
лат
.) –
наивысшее
).
Замечание 3.2.
Если
в
множестве
Ω
имеется
наибольшее
число
,
т
.
е
.
*
|
x
∃ ∈Ω
*
,
x x x
≤ ∀ ∈Ω
, (3.2)
то
множество
Ω
ограничено
сверху
и
*
sup
x
Ω =
.
Действительно
,
в
силу
(3.2)
множество
Ω
ограничено
сверху
и
*
x
–
его
верхняя
граница
.
Пусть
M
–
любая
другая
верх
-
няя
граница
множества
Ω
,
т
.
е
.
x M
≤
для
x
∀ ∈Ω
,
в
частности
,
*
x M
≤
,
ибо
*
x
∈Ω
⇒
*
x
–
наименьшая
из
верхних
границ
множества
Ω
,
т
.
е
.
*
sup
x
Ω =
.
Теорема 3.1.
Всякое
ограниченное
сверху
множество
вещественных
чисел
имеет
точную
верхнюю
грань
.
Пусть
Ω ⊂
R
ограничено
сверху
.
Если
среди
всех
чисел
множества
Ω
найдётся
наибольшее
число
*
x
,
то
в
силу
за
-
мечания
3.2
*
sup
x
∃ Ω =
.
Пусть
среди
чисел
множества
Ω
нет
наибольшего
числа
.
Произведём
сечение
в
области
вещественных
чисел
следую
-
щим
образом
:
к
верхнему
классу
′
A
отнесём
все
верхние
границы
множества
Ω
,
т
.
е
.
положим
U
Ω
′
=A
;
в
нижний
класс
A
включим
все
остальные
вещественные
числа
.
Заметим
,
что
′
≠ ∅
A
.
По
построению
′
∪ =
R
A A =
и
′
∩ = ∅
A A =
.
Далее
,
Ω ⊂
A
.
Действительно
, :
1 1
|
x x
∃ ∈Ω ∈
A
,
т
.
е
.
1
x
′
∈
A
⇒
1
x
–
верхняя
граница
множества
Ω
,
т
.
е
.
1
x x
≤
для
x
∀ ∈ Ω
⇒
1
x
–
наибольшее
число
в
Ω
.
Противоречие
. .
Имеем
:
Ω ⊂
A
и
Ω ≠ ∅
⇒
≠ ∅
A
.
Покажем
,
что
множества
A
,
′
A
удовлетворяют
условию
2)
из
определения
2.1:
для
,
∀α ∈
A
′ ′ ′
∀α ∈ ⇒ α < α
A
. :
1 0 1 0
, |
′ ′ ′
∃α ∈ ∃α ∈ α ≥ α
A A
⇒
1
α
–
верхняя
граница
множества
Ω
,
т
.
е
.
1
′
α ∈
A
,
что
противоречит
условию
1
α ∈
A
. .
Итак
,
|
′
A A
действительно
является
сечением
в
области
вещественных
чисел
.
По
теореме
Дедекинда
существует
вещест
-
венное
число
γ
,
которое
производит
построенное
сечение
|
′
A A
.
Докажем
,
что
sup
γ = Ω
.
Имеем
:
|
′
→ γ
A A
⇒
α ≤ γ
для
∀α ∈
A
,
в
частности
,
x
≤ γ
для
x
∀ ∈ Ω ⊂
A
⇒
γ
–
верхняя
граница
множества
Ω
⇒
′
γ ∈
A
и
по
теореме
Дедекинда
γ
яв
-
ляется
наименьшим
числом
в
U
Ω
′
=A
⇒
⇒
sup
γ = Ω
.
Пусть
множество
Ω
ограничено
сверху
и
*
sup
M
Ω =
.
Из
определения
точной
верхней
грани
множества
получаем
:
3.1)
*
x M
≤
для
x
∀ ∈ Ω
;
3.2)
для
*
0 0
0 |x x M
∀ε > ∃ ∈Ω > − ε
.
Свойство
3.1)
означает
,
что
*
M
является
верхней
границей
множества
Ω
;
свойство
3.2)
означает
,
что
*
M
является
наименьшей
из
всех
верхних
границ
,
ибо
если
взять
любое
число
*
M M
ε
= − ε
,
которое
меньше
*
M
,
то
M
ε
уже
не
является
верхней
границей
множества
Ω
.
Таким
образом
,
точная
верхняя
грань
*
M
множества
Ω
вполне
характеризуется
свойствами
3.1)
и
3.2).
Поэтому
3.1)
и
3.2)
называются
характеристическими свойствами точной верхней грани множества
.
Определение 3.3. Множество
Ω
называется
ограниченным снизу
,
если
|
m x m
∃ ∈ ≥
R
для
x
∀ ∈ Ω
, (3.3)
при
этом
число
m
называется
нижней границей
(
нижней гранью
)
множества
Ω
.
Замечание 3.3.
Если
множество
Ω
ограничено
снизу
,
то
множество
L
Ω
всех
его
нижних
границ
бесконечно
.
Действительно
,
пусть
множество
Ω
ограничено
снизу
,
т
.
е
.
выполняется
(3.3).
Тогда
, 0
∀α ∈ α >
R
число
m m
α
= − α
тоже
является
нижней
границей
множества
Ω
,
ибо
m m
α
<
,
следовательно
,
в
силу
(3.3)
и
свойства
транзитивности
вещест
-

Страницы