Математический анализ I. Фомин В.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Множество
Ω
называется
неограниченным
, если для
0 |
C x x C
∀ > ∃ ∈Ω >
.
Теорема 3.3. Всякое ограниченное множество вещественных чисел имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани.
Теорема 3.3 справедлива в силу теорем 3.1 и 3.2.
Замечание 3.6.
Если множество
Ω
ограничено сверху, то множество
U
Ω
всех его верхних границ ограничено снизу и
sup inf
U
Ω
Ω =
. (3.7)
Действительно, в ходе доказательства теоремы 3.1 было показано, что в множестве
U
Ω
имеется наименьшее число и
sup
Ω
равен
этому
числу
.
В
силу
замечания
3.4
inf
U
Ω
тоже
равен
этому
числу
.
Следовательно
,
справедливо
равенство
(3.7).
Замечание 3.7.
Если
множество
Ω
ограничено
снизу
,
то
множество
Ω
всех
его
нижних
границ
ограничено
сверху
и
inf sup
L
Ω
Ω =
. (3.8)
Действительно
,
в
ходе
доказательства
теоремы
3.2
было
установлено
,
что
в
множестве
Ω
есть
наибольшее
число
и
inf
Ω
равен
этому
числу
.
В
силу
замечания
3.2
sup
Ω
тоже
равен
этому
числу
.
Следовательно
,
справедливо
равенство
(3.8).
Если
множество
Ω
ограничено
,
то
для
него
выполняются
оба
равенства
(3.7)
и
(3.8).
Пример 3.1.
(
]
;5
Ω = −∞
.
Множество
Ω
ограничено
сверху
и
неограниченно
снизу
;
*
sup 5
M
= Ω =
,
*
M
∈Ω
.
Пример 3.2.
(
)
;5
Ω = −∞
.
Множество
Ω
ограничено
сверху
и
неограниченно
снизу
;
*
5
M
=
,
*
M
∈ Ω
.
Пример 3.3.
[
)
2;
Ω = +∞
.
Множество
Ω
ограничено
снизу
и
неограниченно
сверху
;
*
inf 2
m
= Ω =
,
*
m
∈Ω
.
Пример 3.4.
(
)
2;
Ω = +∞
.
Множество
Ω
ограничено
снизу
и
неограниченно
сверху
;
*
2
m
=
,
*
m
∈ Ω
.
Пример 3.5.
[
]
3; 7
Ω = −
.
Множество
Ω
ограничено
;
*
7
M
=
,
*
3
m
= −
,
*
M
∈Ω
,
*
m
∈Ω
.
Пример 3.6.
(
]
3; 7
Ω = −
.
Множество
Ω
ограничено
;
*
7
M
=
,
*
3
m
= −
,
*
M
∈Ω
,
*
m
∈ Ω
.
Пример 3.7.
[
)
3; 7
Ω = −
.
Множество
Ω
ограничено
;
*
7
M
=
,
*
3
m
= −
,
*
M
∈ Ω
,
*
m
∈Ω
.
Пример 3.8.
(
)
3; 7
Ω = −
.
Множество
Ω
ограничено
;
*
7
M
=
,
*
3
m
= −
,
*
M
∈ Ω
,
*
m
∈ Ω
.
Пример 3.9.
Ω =
Z
.
Множество
Ω
не
ограничено
ни
сверху
,
ни
снизу
.
Замечание 3.7.
Всякое
конечное
множество
вещественных
чисел
ограничено
.
Действительно
,
пусть
множество
Ω
конечно
.
Тогда
в
нём
найдётся
наибольшее
число
*
x
,
следовательно
,
в
силу
заме
-
чания
3.2,
множество
Ω
ограничено
сверху
и
*
sup
x
Ω =
.
В
множестве
Ω
найдётся
также
наименьшее
число
*
x
,
следова
-
тельно
,
в
силу
замечания
3.4,
множество
Ω
ограничено
снизу
и
*
inf
x
Ω =
.
В
дальнейшем
окажется
полезным
следующее
утверждение
.
Теорема 3.4.
Пусть
X
⊂
R
,
Y
⊂
R
,
X
≠ ∅
,
Y
≠ ∅
и
выполняется
условие
, ,
x y x X y Y
≤ ∀ ∈ ∀ ∈
. (3.9)
Тогда
множество
X
ограничено
сверху
,
множество
Y
ограничено
снизу
и
sup inf
X Y
≤
.
Зафиксируем
произвольное
число
y Y
∈
.
Тогда
в
силу
(3.9)
множество
X
ограничено
сверху
.
Следовательно
,
в
силу
теоремы
3.1
sup
X
∃
.
Из
(3.9)
видно
,
что
каждое
число
y Y
∈
является
верхней
границей
множества
X
.
По
определению
,
sup
X
–
наименьшая
из
всех
верхних
границ
множества
X
.
Следовательно
,
sup
X y
≤
,
y Y
∀ ∈
. (3.10)
В
силу
(3.10)
множество
Y
ограничено
снизу
.
Следовательно
,
в
силу
теоремы
3.2
inf
Y
∃
.
Из
(3.10)
видно
,
что
sup
X
является
одной
из
нижних
границ
множества
Y
.
По
определению
,
inf
Y
–
наибольшая
из
всех
нижних
границ
множества
Y
.
Следовательно
,
sup inf
X Y
≤
.
Докажем
ещё
одно
утверждение
,
которое
потребуется
в
дальнейшем
.
Лемма 3.1.
Пусть
α ∈
R
;
AA
′
|
–
сечение
в
области
рациональных
чисел
,
определяющее
число
α
.
Тогда
для
, 0
r r
∀ ∈ >
Q
, |
a A a A a a r
′ ′ ′
∃ ∈ ∈ − <
% % % %
.
Зафиксируем
произвольное
положительное
число
r
∈
Q
.
Возьмём
некоторые
0
a A
∈
и
0
a A
′ ′
∈
.
В
силу
условия
2)
из
определения
1.1
0 0
a a
′
<
⇒
0 0 0
0
a a l
′
− = >
.
Если
окажется
,
что
0
l r
<
,
то
лемма
доказана
.
Пусть
0
l r
>
.
Рассмотрим
рацио
-
нальное
число
0 0
0
2
a a
r
′
+
=
(
точка
0 0
2
a a
′
+
является
серединой
отрезка
[
]
0 0
,
a a
′
).
Если
окажется
,
что
0
r A
∈
,
то
положим
1 0
a r
=
,
1 0
a a
′ ′
=
;
если
0
r A
′
∈
,
то
положим
1 0
a a
=
,
1 0
a r
′
=
.
В
результате
получим
отрезок
[
]
1 1
,
a a
′
длины
0
1
2
l
l
=
,
причём

Страницы