Математический анализ I. Фомин В.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

венных чисел
x m
α
>
для
x
∀ ∈Ω
. Получили:
{
}
| , 0
L m m
Ω α
⊃ = − α α ∈ α >
R
, т.е. множество
L
содержит в себе беско-
нечное множество
⇒
L
бесконечно.
Естественный интерес вызывает наибольшая из всех нижних границ ограниченного снизу множества (т.е. наибольшее
число из множества
L
), если такая наибольшая граница существует (множество
L
бесконечно, а в бесконечном множест-
ве может и не быть наибольшего числа, например, на открытой полуоси
(
)
; 3
−∞ −
нет наибольшего числа).
Определение 3.4.
Точной нижней гранью
(
точной нижней границей или инфимумом
) ограниченного снизу
множества
Ω
называется наибольшая нижняя граница этого множества, если она существует.
Обозначение:
inf
Ω
или
{
}
inf
x
x
∈Ω
(infimum (лат.) – наинизшее).
Замечание 3.4.
Если в множестве
Ω
имеется наименьшее число, т.е.
*
|
x
∃ ∈Ω
*
, x x x
≥ ∀ ∈Ω
, (3.4)
то множество
Ω
ограничено снизу и
*
inf
x
Ω =
.
Действительно, в силу (3.4) множество
Ω
ограничено снизу и
*
x
– его нижняя граница. Пусть
m
– любая другая нижняя
граница множества
Ω
, т.е.
x m
≥
для
x
∀ ∈Ω
, в частности,
*
x m
≥
, ибо
*
x
∈Ω
⇒
*
x
– наибольшая из всех нижних границ
множества
Ω
, т.е.
*
inf
x
Ω =
.
Теорема 3.2. Всякое ограниченное снизу множество вещественных чисел имеет точную нижнюю грань.
Пусть
Ω ⊂
R
ограничено снизу. Если среди всех чисел множества
Ω
найдётся наименьшее число
*
x
, то в силу за-
мечания 3.4
*
inf
x
∃ Ω =
.
Пусть среди чисел множества
Ω
нет наименьшего числа. Произведём сечение в области вещественных чисел следую-
щим образом: в нижний класс
A
включим все нижние границы множества
Ω
, т.е. положим
L
Ω
=
A
; к верхнему классу
′
A
отнесём все остальные вещественные числа. Заметим, что
≠ ∅
A
. По построению
′
∪ =
R
A A =
и
′
∩ = ∅
A A =
. Далее,
′
Ω ⊂
A
.
Действительно, :
0 0
|
x x
′
∃ ∈Ω ∈
A
, т.е.
0
x
∈
A
⇒
0
x
– нижняя граница множества
Ω
, т.е.
0
x x
≥
для
x
∀ ∈ Ω
⇒
0
x
– наи-
меньшее число в
Ω
. Противоречие. . Имеем:
′
Ω ⊂
A
и
Ω ≠ ∅
⇒
′
≠ ∅
A
. Покажем, что множества
A
,
′
A
удовлетворя-
ют условию 2) из определения 2.1: для
,
∀α ∈
A
′ ′ ′
∀α ∈ ⇒ α < α
A
. :
1 0 1 0
, |
′ ′ ′
∃α ∈ ∃α ∈ α ≥ α
A A
⇒
0
′
α
–
нижняя
граница
множества
Ω
,
т
.
е
.
0
′
α ∈
A
,
что
противоречит
условию
0
′ ′
α ∈
A
. .
Итак
,
|
′
A A
действительно
является
сечением
в
облас
-
ти
вещественных
чисел
.
По
теореме
Дедекинда
построенное
сечение
|
′
A A
определяет
вещественное
число
µ
.
Покажем
,
что
inf
µ = Ω
.
Имеем
:
|
′
→ µ
A A
⇒
′
α ≥ µ
для
′ ′
∀α ∈
A
,
в
частности
,
x
≥ µ
для
x
′
∀ ∈ Ω ⊂
A
⇒
µ
–
нижняя
граница
мно
-
жества
Ω
⇒
µ ∈
A
и
по
теореме
Дедекинда
µ
является
наибольшим
числом
в
L
Ω
=A
⇒
⇒
inf
µ = Ω
.
Пусть
множество
Ω
ограничено
снизу
и
*
inf
m
Ω =
.
Из
определения
точной
нижней
грани
множества
получаем
:
3.
а
)
*
x m
≥
для
x
∀ ∈ Ω
;
3.
б
)
для
1 1 *
0 |x x m
∀ε > ∃ ∈Ω < + ε
.
Свойство
3.
а
)
означает
,
что
*
m
является
нижней
границей
множества
Ω
;
свойство
3.
б
)
означает
,
что
*
m
является
наи
-
большей
из
всех
нижних
границ
,
ибо
если
взять
любое
число
*
m m
ε
= + ε
,
которое
больше
*
m
,
то
m
ε
уже
не
является
ниж
-
ней
границей
множества
Ω
.
Итак
,
точная
нижняя
грань
*
m
множества
Ω
вполне
характеризуется
свойствами
3.
а
), 3.
б
).
По
этой
причине
3.
а
), 3.
б
)
называются
характеристическими свойствами точной нижней грани множества
.
Определение 3.5.
Множество
Ω
называется
ограниченным
,
если
оно
ограничено
сверху
и
ограничено
снизу
,
т
.
е
.
, |
m M m x M
∃ ∈ ≤ ≤R
для
x
∀ ∈ Ω
. (3.5)
Замечание 3.5.
Условие
ограниченности
множества
Ω
можно
записать
в
следующем
виде
:
, 0 |
C C x C
∃ ∈ > ≤
R
для
x
∀ ∈ Ω
. (3.6)
Действительно
,
пусть
множество
Ω
ограничено
,
т
.
е
.
выполняется
(3.5),
рис
. 3.1.
Рис. 3.1
Положим
C
{
}
max ,
M m
=
.
Тогда
C x C
− ≤ ≤
,
x
∀ ∈ Ω
,
т
.
е
.
x C
≤
для
x
∀ ∈ Ω
.
Обратно
,
пусть
выполняется
(3.6).
Не
-
равенство
x C
≤
,
x
∀ ∈ Ω
равносильно
двойному
неравенству
C x C
− ≤ ≤
,
x
∀ ∈ Ω
и
это
означает
,
что
выполняется
(3.5)
с
m C
= −
,
M C
=
,
т
.
е
.
множество
Ω
ограничено
.
0
1

Страницы