Математический анализ I. Фомин В.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1
a A
∈
,
1
a A
′ ′
∈
. Если окажется, что
1
l r
<
, то лемма доказана. Пусть
1
l r
>
. Рассмотрим точку
1
2
a a
r
′
+
=
. Если окажется,
что
1
r A
∈
, то положим
2 1
a r
=
,
2 1
a a
′ ′
=
; если
1
r A
′
∈
, то положим
2 1
a a
=
,
2 1
a r
′
=
. В результате получим отрезок
[
]
2 2
,
a a
′
длины
0
2
2
2
l
l =
, причём
2
a A
∈
,
2
a A
′ ′
∈
. Продолжая при необходимости этот процесс, получим на
n
-ном шаге отрезок
[
]
,
n n
a a
′
длины
0
2
n
n
l
l =
причём
n
a A
∈
,
n
a A
′ ′
∈
. Подберём натуральное число
n
таким образом, чтобы
0
2
n n
n
l
a a r
′
− = <
.
Такой подбор
n
осуществим, ибо лишь для конечного числа номеров
n
может выполниться неравенство
0
2
n
l
r
≤
(в на-
ших рассуждениях
0
l
r
– фиксированное положительное рациональное число). Для всех остальных
n
справедливо неравенст-
во
0
2
n
l
r
>
, т.е.
0
2
n
l
r
<
. Итак,
, |
n n
a a A a a A a a r
′ ′ ′ ′
∃ = ∈ = ∈ − <
% % % %
.
Заметим, что
a a
′
< α ≤
% %
, ибо если
|A A
′
→ α
, то, по определению,
a a
′
< α ≤
,
∀ ∈
,
a A
′ ′
∀ ∈
(3.11)
(знак равенства в (3.11) имеет место в случае
α ∈
Q
, ибо согласно замечанию 1.5 рациональное число включается в верхний
класс сечения, определяющего это число). Следовательно, любое из чисел
a
%
,
a
′
%
можно взять в качестве рационального
приближения вещественного числа
α
, при этом, в силу леммы 3.1, рациональное приближение числа
α
можно выбрать та-
ким образом, чтобы погрешность была меньше наперёд заданного сколь угодно малого положительного рационального чис-
ла
δ
.
Л е к ц и я 4. АРИФМЕТИЧЕКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД
ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
Сумма вещественных чисел
,
свойства операции сложения
;
понятие противоположного числа
;
модуль вещественного
числа
;
произведение вещественных чисел
;
понятие обратного числа
;
свойства операции умножения
;
свойства модулей.
Введём в области вещественных чисел операцию сложения.
Пусть
,
α β∈
R
;
AA
′
|
и
|
B B
′
–
сечения
в
области
рациональных
чисел
,
определяющие
числа
α
и
β
.
Тогда
,
по
опре
-
делению
a a
′
< α ≤
,
∀ ∈
,
a A
′ ′
∀ ∈
; (4.1)
b b
′
< β ≤
,
b B
∀ ∈
,
b B
′ ′
∀ ∈
(4.2)
(
знак
равенства
имеет
место
в
(4.1)
в
случае
α ∈
Q
,
в
(4.2)
в
случае
β∈
Q
,
ибо
согласно
замечанию
1.5
рациональное
число
включается
в
верхний
класс
сечения
,
определяющего
это
число
).
Рассмотрим
множества
вида
{
}
1
| ,
a b a A b B
Ω = + ∈ ∈
;
{
}
2
| ,
a b a A b B
′ ′ ′ ′ ′ ′
Ω = + ∈ ∈
.
В
силу
условия
2)
из
определения
1.1
a a
′
<
для
∀ ∈
,
a A
′ ′
∀ ∈
и
′
<
для
b B
∀ ∈
,
b B
′ ′
∀ ∈
.
Следовательно
,
a b a b
′ ′
+ < +
,
1
a b
∀ + ∈Ω
,
2
a b
′ ′
∀ + ∈Ω
. (4.3)
Замечание 4.1.
Для
, 0
r r
∀ ∈ >
Q
1
a b
∃ + ∈ Ω
,
2
|
a b
′ ′
∃ + ∈Ω
(
)
(
)
a b a b r
′ ′
+ − + <
.
Действительно
,
в
силу
леммы
3.1
для
числа
2
r
a A
∃ ∈
,
|
a A
′ ′
∈
2
r
a a
′
− <
;
b B
∃ ∈
,
|
b B
′ ′
∈
2
r
b b
′
− <
⇒
(
)
(
)
a b a b r
′ ′
+ − + <
.
Естественно
,
что
в
качестве
суммы
вещественных
чисел
α
и
β
нужно
взять
вещественное
число
γ
,
которое
удовле
-
творяет
условию
, ,
a b a b a b a b
′ ′ ′ ′
+ ≤ γ ≤ + ∀ + ∈Ω ∀ + ∈Ω
1 2
, ,a b a b a b a b
′ ′ ′ ′
+ ≤ γ ≤ + ∀ + ∈Ω ∀ + ∈Ω
1 2
, ,
a b a b a b a b
′ ′ ′ ′
+ ≤ γ ≤ + ∀ + ∈ Ω ∀ + ∈Ω
. (4.4)
Оказывается
,
что
такое
число
γ
существует
и
определяется
однозначно
.

Страницы